Q&A

В.Как доказать с помощью комплексных чисел, что arctg(1/2) выражается иррациональным числом градусов?

О.Это доказательство можно провести, например, так.

Рассуждая от противного, пусть z=(2+i)/\sqrt{5} (\sqrt означает "квадратный корень"). Комплексное число z имеет модуль 1 и аргумент arctg(1/2). Если arctg(1/2) выражается рациональным числом градусов, то число z является, как говорят, "корнем из единицы": его некоторая целая степень равна 1 (в самом деле, если аргумент числа z равен p/q градусов, то число w, равное z в степени 360q имеет тот же модуль 1 и аргумент, кратный 360 градусам, а это и значит, что w=1). Следоваетльно, та же целая степень числа

   
       2   3 + 4i
  w = z  = ------- 
              5

также равна единице, т.е.

   n
  w  - 1 =0

для некоторого натурального числа n. Деля обе части этого равенства на отличное от нуля число w-1, получим, что

   
   n-1    n-2
  w    + w    + ... + w + 1 =0.                 (*)

Итак, число w=(3+4i)/5 удовлетворяет уравнению (*). Заметим, что это уравнение является "возвратным": его коэффициенты симметричны. Поступим с ним так, как обычно и поступают при решении возвратных уравнений: если n-1 четно, то поделим его на

   
   (n-1)/2
  w        ,

а если n-1 нечетно, то заметим, что -1 является корнем уравнения (*), представим его левую часть в виде

     
         n-2    n-4          2
  (w+1)(w    + w    + ... + w  + 1)=0,

отбросим множитель (w+1) (поскольку w не равно -1), после чего окажется, что w является корнем возвратного уравнения

     
         n-2    n-4          2
        w    + w    + ... + w  + 1=0                    (**)

(уже четной степени!) и мы можем поделить уравнение (**) на

      
      (n-2)/2
     w        .

Так или иначе, после всех этих манипуляций можно обычным образом свести то, что получается после деления возвратного уравнения на подходящую степень w, к уравнению относительно w+(1/w). Нетрудно понять (если формально, то это доказывается индукцией по степени уравнения), что все коэффициенты получившегося уравнения, которому удовлетворяет w+1/w, будут целыми числами, причем старший коэффициент будет равен 1. Теперь и получается противоречие: с одной стороны, легко видеть, что

        1     6
   w + --- = --- ,
        w     5

с другой стороны, хорошо известно, что если рациональное число является корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом единица, то это рациональное число обязано быть целым (и даже делителем свободного члена, но последнее для нас несущественно). А число 6/5 целым не является!

Есть и другие способы доказать это утверждение с помощью комплексных чисел, но то, которое мы привели, кажется, наиболее элементарно (по крайней мере, ближе всего к школьной программе).