В. Известно, что построить треугольник по трем биссектрисам с помощью циркуля и линейки невозможно. А можно ли потсроить треугольник по трем биссектрисам, если кроме циркуля и линейки разрешается использовать прибор "трисектор", с помощью которого любой угол можно разделить на три равные части?
О. Ответ отрицательный: существует и единственен треугольник, у которого длины биссектрис равны 2,3 и 6, но построить его с помощью ЦЛТ (циркуля, линейки и трисектора) нельзя. Более того, даже при использовании n-сектора (прибора, позволяющего разделить данный угол на любое натуральное число n равных частей) в сочетании с циркулем и линейкой данная задача неразрешима. Далее идет набросок доказательства этой неразрешимости.
Для начала отметим, что для любых трех положительных чисел существует и единственен треугольник, для которого эти числа являются длинами биссектрис. Доказаетльство см. в
Mironescu, Petru; Panaitopol, Laurentiu "The existence of a triangle with prescribed angle bisector lengths." American Math. Monthly, 101, No.1, 58-60 (1994). [ISSN 0002-9890],
а также в:
Жуков А., Акулич И. "Однозначно ли определяется треугольник".
"Квант", номер 1 (январь-февраль) за 2003 год.
(Возможно, через некоторое время эта статья появится на
http://kvant.mccme.ru.)
Далее, не существует алгоритма, позволяющего по данным трем биссектрисам построить треугольник циркулем и линейкой. Доказательство см. в статье
Манин Ю.И. "О разрешимости задач на построение с помощью циркуля и
линейки", Энциклопедия элементарной математики. Книга IV. Геометрия.
Москва, Физматлит, 1963, стр. 205-227
(см. также ссылку на эту статью здесь.)
Теперь перейдем непосредственно вопросу о том, можно ли построить циркулем, линейкой и трисектором треугольник по трем данным биссектрисам.
Существует такой многочлен f от четырех переменных с целыми коэффициентами что для любого треугольника с длинами сторон a,b,c и длинами биссектрис la,lb,lc выполняется равенство f(a,la,lb,lc)=0. Как это доказать? Выпишем сначала такой многочлен g от четырех переменных с целыми коэффициентами, что g(la,a,b,c) = 0 для любого треугольника. Такой многочлен выписать несложно, пользуясь формулой для длины биссектрисы через длины сторон. Он выглядит так:
la2b2 + 2la2bc+la2c2+ bca2-b3c - 2b2c2 - bc3.
Таким образом, в любом треугольнике
la2b2 + 2la2bc + la2c2 + bca2 - b3c - 2b2c2 - bc3 lb2a2 + 2lb2ac + lb2c2 + acb2 - a3c - 2a2c2 - ac3 lc2a2 + 2lc2ab + lc2b2 + abc2 - a3b - 2a2b2 - ab3.
Последовательно исключив из этих уравнений b и с (о том, как это делать, см. литературу по словам "результант" или "базис Гребнера"), найдем искомый многочлен f. Для его нахождения использовалась следующая программа на языке Maple:
q1:=numer(la^2-1/(b+c)^2*b*c*(a+b+c)*(-a+b+c)); q2:=numer(lb^2-1/(a+c)^2*a*c*(a+b+c)*(a-b+c)); q3:=numer(lc^2-1/(a+b)^2*a*b*(a+b+c)*(a+b-c)); q12:=factor(resultant(q1,q2,c)); q13:=factor(resultant(q1,q3,c)); q123:=resultant(q12,q13,b); f:=op(5,factor(q123));
Получающийся многочлен f довольно громоздкий. Полностью он приведен по этой ссылке (в виде pdf-файла), здесь же укажем некоторые характеристики f:
количество одночленов: 331 степень: 40 степень по a: 20 степень по la: 14 степень по lb: 16 степень по lc: 16 максимальный коэффициент: 56528 (при a^14*la^10*lc^8*lb^8)
Многочлен f можно выписать как многочлен 20-ой степени от одной переменной a с коэффициентами, являющимися многочленами от la,lb,lc. Это позволяет, зная la,lb и lc, найти многочлен, корнем которого является a.
Для иллюстрации приведем некоторые коэффициенты такой записи:
Коэффициенты при ai, где i нечетно: 0
Свободный член (коэффициент при a0):
256 lb2 lc2 (lc - la)2 (lc + la)2 (lb - la)2 (lb + la)2
(lc la + lb lc + lb la) (-lc la + lb lc + lb la)
(-lc la + lb lc - lb la) (lc la + lb lc - lb la)
Таким образом, вопрос состоит в том, можем ли мы построить корни многочлена f с помощью циркуля, линейки, и трисектора. Ясно, что верно более слабое утверждение: если корни какого-то многочлена можно построить циркулем, линейкой и трисектором, то его корни выражаются через радикалы. Это следует из разрешимости квадратных и кубических уравнений в радикалах (циркулем и линейкой строятся корни квадратных уравнений, если добавить трисектор, то добавится возможность строить корни некоторых кубических уравнений, но не более того).
Однако, если в многочлен f подставить значения la=2,lb=3,lc=6, то получается следующий многочлен (сделана замена t=a2):
32000 t9 - 3695680 t8 + 144624240 t7 - 1885869621 t6 - 8496089676 t6 + 331024494960 t4 - 2260437290496 t3+ + 5473519183872 t2 - 2742745743360 t - 2821109907456.
Группу Галуа данного многочлена в Maple можно посчитать командой galois. Она оказывается S(9). Отсюда следует, что корни данного многочлена не выражаются через радикалы. Следовательно, его корни нельзя построить с помощью циркуля, линейки и трисектора. Более того, его корни нельзя построить и n-сектором! Это следует из того, что cos(x/n) при любом n можно выразить через радикалы от cos(x).
