В. Существует ли неархимедова геометрия? Если да, то в чем ее суть, и где она применяется?
О. Скорее всего, в вопросе под неархимедовой геометрией понимается следующее. Аксиомой Архимеда называется такое утверждение: если даны отрезки AB и CD, то на прямой AB можно отложить отрезки AA1, A1A2,... A{n-1}An таким образом, что все эти отрезки будут равны отрезку CD, и при этом точка B будет лежать на отрезке A{n-1}An (возможно, в одном из его концов). При изложении геометрии, принятом в современных школьных учебниках, это утверждение тривиально, но существуют и другие выборы системы аксиом, при которых его принимают за отдельную аксиому.
В частности, за отдельную аксиому это утверждение принималось и в первой полной системе аксиом геометрии, опубликованной великим немецким математиком Давидом Гильбертом в 1899 году в книге "Основания геометрии" (имеется русский перевод, опубликованный в 1948 году). Гильберта, в соответствии с математическими вкусами того времени, волновал вопрос о "независимости" его аксиом: нельзя ли сократить его систему аксиом, выведя какую-то аксиому из остальных. В своей книге он подробно исследует этот вопрос и, в частности, показывает, что акиома Архимеда от остальных аксиом независима. Для этого он строит "модель" геометрии, в которой все аксиомы, кроме аксиомы Архимеда, выполнены, а сама аксиома Архимеда --- нет. Эту модель он и называет "неархимедовой геометрией". Грубо говоря, модель состоит в том, что в качестве координат точек берутся не действительные числа, но элементы некоторого "неархимедовски упорядоченного поля" (по поводу того, что это значит, см. книгу С.Ленга "Алгебра" или Б.Л.Ван дер Вардена "Алгебра").
Хотим подчеркнуть, что интересовал Гильберта именно вопрос о независимости аксиомы Архимеда, а не свойства неархимедовой геометрии как таковой. Никаких интересных применений такая "неархимедова геометрия" в математике не нашла, и в настоящее время, когда и вопрос об аксиоматических основаниях математики утратил былую актуальность, ей почти не интересуются. В этом смысле судьба неархимедовой геометрии резко отличается от судьбы неевклидовой геометрии (она же геометрия Лобачевского: геометрия, в которой неверна аксиома параллельности). Геометрия Лобачевского интересна сама по себе, применяется в целом ряде разделов математики, не говоря уж о том, что у нее есть интересные обобщения.
Наконец, отметим, что современный математик под словами "неархимедова геометрия" поймет скорее нечто иное, чем "геометрия без аксиомы Архимеда": именно, так иногда называется геометрия, в которой координатами точек являются так называемые "p-адические числа"; неархимедова геометрия в этом смысле имеет применения в теории чисел.
Про p-адические числа можно почитать в следующих книгах:
