В. Расскажите, пожалуйста, о теореме Д.Помпейю (для правильного треугольника).
О. Эта теорема формулируется так:
Если точка M лежит на описанной окружности треугольника ABC, то один из отрезков AM, BM, CM равен сумме двух других.
Проще всего вывести эту теорему из тероемы синусов.
Именно, предположим, что точка M лежит на дуге BC (это, очевидно, общности не нарушит), и покажем, что AM=BM+CM. Обозначим угол MBC через x (здесь и ниже все углы измеряются в градусах). Тогда угол MAC также равен x (поскольку они оба --- вписанные, опирающинся на дугу MC); следовательно, угол MAB равен
BAC-MAC=60-MAC=60-x,и очевидно, что угол MBA равен 60+x.
Обозначим теперь радиус окружности через R.
Тогда имеем:
MA=2R*sin(MBA)=2R*sin(60+x)(следует из теоремы синусов, примененной к треугольнику MBA; звездочка обозначает умножение);
MB=2R*sin(MAB)=2R*sin(60-x)(следует из теоремы синусов, примененной к тому же трегольнику);
MC=2R*sin(MAC)=2R*sin(x)(следует из теоремы синусов, примененной к треугольнику MAC).
Стало быть, утверждение теоремы равносильно тождеству
2R*sin(60+x)=2R*sin(60-x)+2R*sin(x),или, сокращая на 2R,
sin(60+x)=sin(60-x)+sin(x);это последнее тождество легко проверяется непосредственно, если раскрыть sin(60+x) и sin(60-x) по формулам для синуса суммы и разности и подставить известные значения для синуса и косинуса 60 градусов.
Можно также вывести теорему Помпейю из теоремы Птолемея (примените ее к четырехугольнику ABMC).
У теоремы Помпейю имеются различные усиления и обобщения. Например, если точка M не лежит на описанной окружности правильного треугольника ABC, то можно показать, что из отрезков AM, BM, CM можно составить треугольник.
Из обобщений упомянем следующую теорему Пурсера:
Дан треугольник ABC с длинами сторон a,b,c, а также окружность w. Пусть t,u и v - длины касательных, проведенных из вершин треугольника ABC к окружности w. Тогда следующие условия равносильны:
