На главную страницу

В. Помогите, пожауйста, доказать теорему Птолемея с помощью инверсии.

О. Вот доказательство.

Теорема Птолемея

Условие:

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Доказать, что

AB*CD + AD*BC = AC*BD

(звездочка обозначает умножение).

Сначала докажем такую лемму:

Лемма

Пусть при инверсии относительно окружности с центром O и радиусом R точки A и B переходят в точки A' и B' соответственно. Тогда расстояние A'B' можно найти по формуле:

         2
        R  * AB
A'B' = ---------
        OA * OB

Доказательство леммы

OA*OA'=OB*OB' => OA/OB'=OB/OA' => треугольники OAB и OB'A' подобны => AB/A'B'=OA/OB'. Следовательно,

A'B'=(AB*OB')/OA=AB*(R^2/OB')/OA=(R^2*AB)/(OA*OB), 

(R^2 означает "R в квадрате"), что и требовалось доказать.

Вывод теоремы Птолемея из леммы

Рассмотрим инверсию относительно окружности с центром в точке A и радиусом, равным квадратному корню из AB*AC*AD. Точки B', C' и D' будут лежать на одной прямой (так как точки A,B,C,D лежат на одной окружности), следовательно B'C'+C'D'=B'D'. Подставляя вместо длин отрезков B'C', C'D' и B'D' их выражения по лемме через стороны четырехугольника, получаем AB*CD+AD*BC=AC*BD, что и требовалось доказать.

В некоторых книгах это решение оформлено более "научно" сформулирована отдельная теорема о том, что т.н. двойное отношение четырех точек вещественно тогда, и только тогда, когда они лежат на одной окружности или прямой.

С другой стороны, вышеописанное решение можно изложить и без инверсии (см. Прасолов В.В. "Задачи по планиметрии", задача 9.67; этот текст есть в Интернете вот здесь).

Аналогичным образом можно доказать "неравенство Птолемея", сведя его к неравенству треугольника: если точки A,B,C и D не лежат на одной окружности или прямой, то

AB*CD + AD*BC > AC*BD

Из теоремы Птолемея легко выводится теорема Помпейю.

Теорему Птолемея можно обобщать различными способами:

1. Теорема Птолемея для шестиугольника (в зарубежной литературе --- Fuhrmann's theorem)

Если A1, A2, A3, A4, A5, A6 - произвольные точки плоскости, то

A1A4 * A2A5 * A3A6 =< A1A2 * A3A6 * A4A5 + A1A2 * A3A4 * A5A6 +
 + A2A3 * A1A4 * A5A6 + A2A3 * A4A5 * A1A6 + A3A4 * A2A5 * A1A6.

(знак =< означает "меньше или равно"). Равенство достигается тогда, и только тогда, когда точки A1,...,A6 лежат на одной окружности или прямой (причем в определенном порядке).

Теорему Fuhrmann'а можно доказать аналогично теореме Птолемея (а можно и вывести из теоремы Птолемея).

2. Теорема Пурсера (Purser)

Дан треугольник ABC с длинами сторон a,b,c, а также окружность w. Пусть t,u и v - длины касательных из вершин треугольника ABC к окружности w. Тогда следующие условия равносильны:

  1. одно из чисел at, bu, cv равно сумме двух других
  2. окружность w касается описанной окружности треугольника ABC

3. Теорема Кэзи (Casey)

Даны 4 окружности a,b,c,d. Обозначим за d(a,b) длину общей касательной между a и b. Тогда следующие условия равносильны:

  1. одно из чисел d(a,b)*d(c,d), d(a,c)*d(b,d), d(a,d)*d(b,c) равно сумме двух других
  2. окружности a,b,c,d проходят через одну точку, касаются одной прямой или касаются одной окружности.

Так сформулированное условие нестрогое (непонятно, брать ли внешнюю или внутреннюю касательную). Для строгой формулировки надо либо нарисовать рисунок, либо рассматривать только один случай (все касания внешние), либо рассматривать ориентированные прямые и окружности.


Rambler's Top100