В. Помогите, пожауйста, доказать теорему Птолемея с помощью инверсии.
О. Вот доказательство.
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Доказать, что
AB*CD + AD*BC = AC*BD
(звездочка обозначает умножение).
Сначала докажем такую лемму:
Пусть при инверсии относительно окружности с центром O и радиусом R точки A и B переходят в точки A' и B' соответственно. Тогда расстояние A'B' можно найти по формуле:
2 R * AB A'B' = --------- OA * OB
OA*OA'=OB*OB' => OA/OB'=OB/OA' => треугольники OAB и OB'A' подобны => AB/A'B'=OA/OB'. Следовательно,
A'B'=(AB*OB')/OA=AB*(R^2/OB')/OA=(R^2*AB)/(OA*OB),
(R^2 означает "R в квадрате"), что и требовалось доказать.
Рассмотрим инверсию относительно окружности с центром в точке A и радиусом, равным квадратному корню из AB*AC*AD. Точки B', C' и D' будут лежать на одной прямой (так как точки A,B,C,D лежат на одной окружности), следовательно B'C'+C'D'=B'D'. Подставляя вместо длин отрезков B'C', C'D' и B'D' их выражения по лемме через стороны четырехугольника, получаем AB*CD+AD*BC=AC*BD, что и требовалось доказать.
В некоторых книгах это решение оформлено более "научно" сформулирована отдельная теорема о том, что т.н. двойное отношение четырех точек вещественно тогда, и только тогда, когда они лежат на одной окружности или прямой.
С другой стороны, вышеописанное решение можно изложить и без инверсии (см. Прасолов В.В. "Задачи по планиметрии", задача 9.67; этот текст есть в Интернете вот здесь).
Аналогичным образом можно доказать "неравенство Птолемея", сведя его к неравенству треугольника: если точки A,B,C и D не лежат на одной окружности или прямой, то
AB*CD + AD*BC > AC*BD
Из теоремы Птолемея легко выводится теорема Помпейю.
Теорему Птолемея можно обобщать различными способами:
Если A1, A2, A3, A4, A5, A6 - произвольные точки плоскости, то
A1A4 * A2A5 * A3A6 =< A1A2 * A3A6 * A4A5 + A1A2 * A3A4 * A5A6 + + A2A3 * A1A4 * A5A6 + A2A3 * A4A5 * A1A6 + A3A4 * A2A5 * A1A6.
(знак =< означает "меньше или равно"). Равенство достигается тогда, и только тогда, когда точки A1,...,A6 лежат на одной окружности или прямой (причем в определенном порядке).
Теорему Fuhrmann'а можно доказать аналогично теореме Птолемея (а можно и вывести из теоремы Птолемея).
Дан треугольник ABC с длинами сторон a,b,c, а также окружность w. Пусть t,u и v - длины касательных из вершин треугольника ABC к окружности w. Тогда следующие условия равносильны:
Даны 4 окружности a,b,c,d. Обозначим за d(a,b) длину общей касательной между a и b. Тогда следующие условия равносильны:
Так сформулированное условие нестрогое (непонятно, брать ли внешнюю или внутреннюю касательную). Для строгой формулировки надо либо нарисовать рисунок, либо рассматривать только один случай (все касания внешние), либо рассматривать ориентированные прямые и окружности.