\centerline{{\bf 7. Антипараллельность. 22 августа}}

\qОпределение. Пусть точки $B_1$ и $C_1$ лежат на прямых $AB$ и $AC$, причём $A$ или внутри обоих отрезков $BB_1$ и $CC_1$,
или вне обоих. Будем говорить, что прямые $B_1C_1$ и $BC$ {\it антипараллельны}
относительно пары прямых $AB$ и $AC$ (или относительно угла $BAC$), если $\angle AC_1B_1=\angle ABC$.

\qУтверждение 1. Прямые $BC$ и $B_1C_1$ антипараллельны тогда и только тогда, 
когда $B_1$, $C_1$, $B$ и $C$ лежат на одной окружности.
Что происходит в случае, когда $C\approx C_1$ или $B\approx B_1$?

\qУтверждение 2. Прямые $BC$ и $B_1C_1$ антипараллельны тогда и только тогда,
когда $B_1C_1$ параллельна касательной к описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $A$.

\qУтверждение 3. Прямые $BC$ и $B_1C_1$ антипараллельны тогда и только тогда, 
когда треугольники $ABC$ и $AC_1B_1$ подобны. Иначе говоря, один из этих треугольников можно
перевести в другой, выполнив симметрию относительно биссектрисы угла $A$ и затем гомотетию 
с центром в точке~$A$.

\medskip \hrule \smallskip

\q1. Пусть $AA_1$ и $BB_1$ --- высоты, а $AA_2$ и $BB_2$ --- биссектрисы треугольника $ABC$. 
Известно, что  $A_1B_1\parallel A_2B_2$.  Докажите, что $AC=BC$.

\q2. Дан правильный семиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7$. Прямые $A_2A_3$ и $A_5A_6$ пересекаются 
в точке $X$, а прямые $A_3A_5$ и $A_1A_6$ --- в точке $Y$. Докажите, что прямые $A_1A_2$ и $XY$ 
параллельны.
%

\q3. Пусть $ABCD$ --- трапеция, $AD\parallel BC$. Докажите, что описанная 
окружность треугольника $ABD$ касается прямой $CD$ тогда и только тогда, 
когда описанная окружность треугольника $BCD$ касается прямой~$AB$.

\q4. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $BB_1$. 
Прямая $A_1B_1$ пересекает описанную окружность $\Omega$ треугольника $ABC$ в 
точках $P$ и $Q$. Докажите, что $CP=CQ$.
% параллельная касательная

\q5. Высоты $AA_1$, $CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$.  $H_A$ --- точка симметричная $H$ относительно $A$.
$H_AC_1$ пересекает прямую $BC$ в точке $C_2$; аналогично определяется точка $A_2$. Докажите, что  $A_2C_2\parallel AC$.


\vfill 

\centerline{\it Не забудьте перевернуть листочек!}

\newpage


\q6. Из основания каждой высоты треугольника опущены перпендикуляры на две его другие стороны. 
Докажите, что основания всех шести перпендикуляров лежат на одной окружности.

\q7. Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$, лучи $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $K$,
лучи $BA$ и $CD$ --- в точке $L$. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ вписанный 
тогда и только тогда, когда биссектрисы углов $ALD$ и $AKB$ перпендикулярны.


\q8. Пусть $BH_b$, $CH_c$ --- высоты треугольника $ABC$. Прямая $H_bH_c$ пересекает описанную окружность $\Omega$ 
треугольника $ABC$ в точках $X$ и $Y$. Точки $P$ и $Q$ симметричны $X$ и $Y$ относительно $AB$ и $AC$ 
соответственно. Докажите, что $PQ\parallel BC$.

\q9. Дана трапеция $ABCD$. Окружность $\omega_1$ проходит через вершины $C$ и $D$, а её центр лежит на боковой стороне
$AB$. Аналогично, окружность $\omega_2$ проходит через $A$ и $B$, а её центр лежит на стороне $CD$. Пусть 
$K$ и $L$ --- точки пересечения этих окружностей, а $T$ --- точка пересечения диагоналей трапеции. Докажите, 
что точки $K$, $L$ и $T$ лежат на одной прямой.
% колм21, тур1

\q10. Пусть $\Omega$ --- окружность, описанная около треугольника $ABC$, а точка $O$ --- её центр.
Окружность $\Gamma$ с центром $A$ пересекает отрезок $BC$ в точках $D$ и $E$ так, что точки $B$, $D$, $E$ и $C$
все различны и лежат на прямой $BC$ в указанном порядке. Пусть $F$ и $G$ --- точки пересечения
окружностей $\Gamma$ и $\Omega$, при этом точки $A$, $F$, $B$, $C$ и $G$ лежат на $\Omega$ в указанном порядке. 
Пусть $K$ --- вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника $BDF$, и отрезка $AB$.
Пусть $L$ --- вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника $CGE$, и отрезка $CA$.
Пусть прямые $FK$ и $GL$ различны и пересекаются в точке~$X$. Докажите, что точка~$X$ лежит на прямой $AO$.

% в зачёт
% Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ пересекает его описанную окружность в точке $M$.
% Точки $X$ и $Y$ выбраны на дугах $AB$ и $AC$, не содержащих точку $M$. 
% Отрезки $MX$ и $MY$ пересекают отрезок $BC$ в точках $P$ и $Q$. Прямые $YP$ и $XQ$
% вторично пересекают описанную окружность в точках $D$ и $E$. Докажите, что $DE\parallel BC$. 




