logo

Клуб Экспериментальной Математики

[ главная | материалы | объявление ]

Клуб Экспериментальной Математики под руководством Г. Б. Шабата работает с 1983 года. На этой странице планируется постепенно размещать накопившиеся за это время материалы, а также (промежуточные) результаты текущей работы.

Большинство текстов выкладывается в формате pdf. Для просмотра интерактивных чертежей в формате gsp необходима программа Живая Геометрия (The Geometer's Sketchpad).

Формы графиков многочленов

Конгруэнты

Какими могут быть площади прямоугольных треугольников с рациональными сторонами? Соответствующие числа будем называть конгруэнтами; они определены с точностью до умножения на квадрат рационального числа и потому могут считаться натуральными, свободными от квадратов.

Вопросу об описании конгруэнтов более тысячи лет. К настоящему времени получен гипотетический полный ответ; он представляет собой теорему, которая будет доказана, если удастся решить одну из проблем миллениума (доказать гипотезу Бёрча и Свиннертона-Дайера).

Последние цифры простых чисел

С какой вероятностью простое число заканчивается на данную цифру? Как меняется эта вероятность, если известна цифра предыдущего простого числа? Начинаем — с экспериментов и гипотез.

Хроматические многочлены графов

Работа вводит в теорию раскрасок графов. В ней изучено несколько семейств примеров.

Треугольник Эйлера, перечисление змей и суммы степеней

Перечисление перестановок специального вида оказывается связанным не только с интересной комбинаторикой, но и с аналитическим продолжением Эйлера дзета-функции.

Начинаем — с подсчета перестановок с заданным количеством подъемов. Ответы можно записать в виде треугольника, напоминающего треугольник Паскаля…

Суммы квадратов и обобщения

Вопрос о представимости натуральных чисел в виде суммы двух квадратов допускает разнообразные подходы и обобщения. В одной из работ автор подходит к этому вопросу с позиций геометрии (здесь возникают функции Эрхарта, считающие целые точки в растяжениях выпуклых фигур) и анализа (используется тэта-функция). В другой традиционное обобщение вопроса — изучение представимости числа в виде суммы квадрата и кратного квадрата — рассматривается нетрадиционно — изучается представимость в виде x2+dy2 одновременно для нескольких d. Результаты пока в основном экспериментальные.

Большие числа

Число 9999999999999999 настолько велико, что его трудно назвать. Число 999999! (почти МИЛЛИОН-ФАКТОРИАЛ) ещё больше, но назвать его можно, и можно записать выражением всего в 7 символов.

Огромными числами и их именами интересовался ещё Архимед, написавший целую книгу ПСАММИТ (исчисление песчинок). А в наше время эти числа можно изучать с помощью компьютеров... но они довольно быстро начинают переполняться. Тогда приходится подумать!

Суммы квадратов

Какие натуральные числа — суммы двух квадратов? Работа содержит первые экспериментальные результаты, связывающие этот вопрос с арифметикой остатков.

Диагонали многоугольников

Многоугольники (даже правильные!) со всеми диагоналями вместе — интересный и загадочный объект (см. В. В. Прасолов, Рассказы о числах, многочленах и фигурах, с. 32).

Для начала можно выяснить, сколько в правильном многоугольнике равных диагоналей.

Геометрия дробей

Дроби можно рисовать несколькими способами: на клетчатой бумаге (одна координата — числитель, другая — знаменатель), как вершины графа Фарея, круги ковра Аполлония (см., например, А. А. Кириллов, Повесть о двух фракталах) и т. п. Применения этих образов к некоторым задачам (наилучшие приближения вещественных чисел, конструкции зубчатых механизмов) давно известны; одна из целей проекта — освоить эти результаты с помощью современной техники.

Работа началась со «сложения» дробей для двоечников: пусть числитель «суммы» равен сумме числителей, а знаменатель «суммы» — сумме знаменателей. Как ни странно, это операция осмысленна, и её результат можно увидеть так же ясно, как правильную сумму дробей.

Теорема Понселе и её обобщения

Мы будем работать с большой окружностью радиуса $R$ и с маленькой радиуса $r$. Когда эти окружности — описанная и вписанная для какого-нибудь треугольника? Ответ даётся формулой Эйлера: если $d$ — расстояние между центрами окружностей, то должно выполняться соотношение $d^2=R^2-2Rr$.

Треугольник определяется тремя числами (например, длинами сторон). Пара окружностей — тоже тремя $(d,R,r)$, но, если эти числа связаны формулой Эйлера, то остаётся только два числа. Можно заподозрить, что каждая такая пара окружностей «обслуживает» целое семейство треугольников. Так оно и оказывается, и это — простейшиё вариант теоремы Понселе.

Цель проекта — понять теорему Понселе и придумать её обобщения, для начала на случай четырёхугольников.

Треугольники на клетчатой бумаге

Все вершины наших треугольников будут лежать в узлах клетчатой бумаги. Но мы хотим, чтобы и другие замечательные точки лежали в узлах! Для этого иногда достаточно растянуть треугольник.

Начинаем с середин сторон и центра — точки пересечения медиан. На очереди — основания высот и ортоцентр. А там посмотрим.

Перечисление тривалентных графов

Все тривалентные графы получаются из простейших с помощью трёх видов операции добавления ребра. Задача удаления из полученных списков повторяющихся графов решается (в случае небольшого количества рёбер) с помощью инвариантов графов.

Пока этим методом перечислены тривалентные графы с 2, 4 и 6 вершинами; соответствующих графов оказывается 2, 5 и 17. Полученные списки совпадают со списками работы Kawazumi и Morita, The primary approximation to the cohomology of the moduli space of curves and cocycles for the Mumford-Morita-Miller classes (2001), которые получены «по-взрослому».

Цель проекта — расширить и компьютеризовать полученные результаты, в перспективе — перейти к перечислению детских рисунков, то есть рассматривать графы вместе с вложениями в поверхности. Один из возможных подходов — научиться пользоваться техникой недавней работы P. G. Zograf, Enumeration of Grothendieck’s dessins and KP hierarchy (2013), в которой сильные результаты получены методами, родственными нашим.

Двуквадратные числа (pdf, 1.5M) (опубликовано в электроном журнале «Полином»)

«Весной 2009 года я проводил еженедельные домашние занятия с небольшой группой пятиклассниц и одним третьеклассником (…). Это называлось Малый КЭМ (Клуб Экспериментальной Математики). Предлагаемая статья — продукт наших занятий. Тексты написаны детьми (с умеренным участием взрослых) на основе их докладов на семинаре А. И. Сгибнева в МЦНМО 19 мая 2009 г.

Мы ничего не доказывали и почти ничего не пытались объяснить. Мы учились наблюдать, подмечать закономерности и радоваться их проявлениям.» (Из предисловия Г. Б. Шабата.)

Valid HTML5, MathJax