2. а) Волк и семеро козлят встали в один ряд и играют в чехарду:
каждую секунду двое из них, стоящие через одного, могут, прыгнув, поменяться
местами. Может ли оказаться так, что они стоят в обратном порядке?
б) А если в чехарду играют Али-баба и сорок разбойников?
3. У числа 999 вычислили сумму цифр. У полученного числа опять вычислили сумму цифр и т.д, пока не получилось однозначное число. Какое?
4. На доске написаны числа от 1 до 20. Каждую секунду какие-то два числа
a и b заменяют на число
а) a+b;
б) ab;
в) a+b-1;
г*) ab+a+b.
В конце концов остаётся одно число. Какое?
5. Фигура "верблюд" ходит по доске 10x10 ходом типа (1,3) (то есть, она сдвигается сначала на соседнее поле, а затем сдвигается еще на три поля в перпендикулярном направлении; конь, например, ходит ходом типа (1,2)). Можно ли пройти ходом "верблюда" с какого-то исходного поля на соседнее с ним?
6. В каждой клетке доски 3x3 сидело по жуку. Через некоторое время каждый жук переполз в соседнюю (по стороне) клетку. Докажите, что хотя бы в одной клетке сидит больше одного жука.
7. На шести ёлках сидят шесть чижей, на каждой ёлке — по чижу.
Ёлки растут в ряд с интервалами в 10 метров. Если какой-то чиж перелетает
с одной ёлки на другую, то какой-то другой чиж обязательно перелетает на
столько же метров в обратном направлении.
а) Могут ли все чижи собраться на одной ёлке?
б) А если чижей и ёлок — семь?
8*. Болельщик Вася нарисовал расположение игроков на футбольном поле к началу первого и второго таймов. Оказалось, что некоторые игроки поменялись местами и при этом расстояние между любыми двумя игроками не увеличилось. Докажите, что все эти расстояния не изменились.
9*. По кругу расставлены числа 12, 7, 23, 45, 13, 5. За один ход можно прибавить или отнять одно и то же число (не обязательно целое) от двух стоящих рядом чисел. Можно ли за несколько ходов получить числа 7, 13, 4, 1, 5, 12?