1. Ваня умеет прыгать на 3 метра вперёд и на 2 метра назад. За какое наименьшее число прыжков он может прыгнуть на отметку 7 метров?

2. Поезда из Москвы во Владивосток и из Владивостока в Москву отправляются раз в сутки в полдень по Гринвичу. Машинист Иванов, ведущий поезд из Москвы, даёт гудок каждый раз, как встречается с поездами из Владивостока. Сколько раз Иванов даст гудок, если от Москвы до Владивостока поезд идёт ровно неделю?

3. Существует ли замкнутая ломаная, которая пересекает каждое своё звено ровно один раз и состоит из: a) 6 звеньев; b) 8 звеньев?

4. Известно, что a+1/a — целое. Докажите, что aⁿ+1/aⁿ — тоже целое.

5. На сколько частей делят плоскость a) n прямых общего положения (т.е. никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку); b) n окружностей общего положения (т.е. любые две пересекаются, никакие три не проходят через одну точку и никакие две не касаются)?

6. Найдите a) 1²+2²+3²+...+n²; b) 1²+3²+...+(2n+1)².