1. В каждой клетке доски 5x5 сидел жук. Затем каждый жук переполз на соседнюю (имеющую общую сторону) клетку. Докажите, что получилась хотя бы одна пустая клетка.
2. Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки a) одного цвета; b) разных цветов, расстояние между которыми равно 1м.
3. Прямая раскрашена в два цвета. Докажите, что найдётся отрезок, концы и середина которого раскрашены в один цвет.
4. Можно ли замостить доску 10x10 прямоугольниками 4x1?
5. a) Можно ли раскрасить плоскость в три цвета так, чтобы любая
прямая оказалась окрашена ровно в два цвета.
b) Тот же вопрос, если требуется, чтобы любые две точки, расстояние
между которыми равно 1м, оказались окрашенными в разные цвета?
6. Клетки доскиx 8x8 раскрашена в четыре цвета. При этом в любом квадратике 2x2 встречаются все четыре цвета. Докажите, что угловые клетки окрашены в различные цвета.
7. Раскрасьте плоскость в семь цветов так, чтобы любые две точки, расстояние между которыми равно 1м, оказались окрашенными в разные цвета.
Задача на дом. Попробуйте уменьшить зазор между результатами задач 5б и 7.