Задача 5.1. Нарисовать дерево ходов при игре в крестики-нолики, считая, что первый крестик всегда ставится в центр. Указать стратегию достижения ничьей для каждого из игроков.
Задача 5.2. Два мальчика, Петя и Витя, делят две коробки
шоколадных конфет производства СП "Сладкая жизнь" по следующим
правилам: каждый из них может взять поровну конфет из обеих коробок
или сколько угодно конфет из одной коробки и съесть, после чего
очередь переходит к другому мальчику. Если при чьем-то ходе
оказывается, что взять нечего, то этот мальчик получает в утешение
бумажные доллары из коробок. Кому достанутся доллары, если в коробках
а) по 7 конфет
б) по 21 конфете
в) по N конфет (N>0)?
Задача 5.3. Решить задачу 5.2, если коробок три, а брать можно поровну конфет из двух любых или из всех трех коробок или сколько угодно конфет из одной коробки.
Задача 5.4. Два мальчика, Толя и Гарри, играют в следующую игру: на поле h8 шахматной доски стоит король. За один ход можно передвинуть его на одну клетку влево, вниз или влево-вниз. Проигрывает тот, кто поставит короля на а1. Кто выиграет при правильной игре, если первым ходит Толя?
Задача 5.5. Толя и Гарри играют в ту же игру ладьей, которую можно передвигать вниз или влево на любое число клеток. Кто выиграет?
Задача 5.6. Толя и Гарри играют в ту же игру ферзем, который можно передвигать вниз, влево или вниз-влево на любое число клеток. Кто выиграет?
Задача 5.7. На столе лежат девять карточек, на которых написаны числа от 1 до 9. Петя и Витя берут по очереди по одной карточке, пока не окажется, что у кого-то из них есть три карточки, числа на которых в сумме дают 15 - он и считается выигравшим. Докажите, что при правильной игре не выиграет никто.
Задача 5.8. Блондинка Света и брюнет Тема играют в "двойные шахматы", которые отличаются от обычных тем, что вместо одного хода каждый делает два по обычным правилам. Света играет белыми. Докажите, что у Темы не может быть выигрышной стратегии.
Задача 5.9. Какие из игр, описанных в задачах 5.1 - 5.8, являются изоморфными?