Задача 4.1.
а) В классе 25 учеников. Докажите, что в этом классе обязательно найдутся
два ученика, которые отмечают свой день рождения в одном и том же месяце.
б) А обязательно ли найдутся три таких ученика?
Задача 4.2. Незнайка считает четырёхугольник квадратом, если у этого четырёхугольника стороны имеют равные длины. Не ошибается ли он?
Задача 4.3. На сколько сумма всех чётных чисел первой сотни больше суммы остальных её чисел?
Задача 4.4.
а) В строчку написаны 10 единиц. Юра и Витя по очереди ставят между
какими-нибудь соседними числами знак: "+" или "-" (если там еще нет знака).
Начинает Юра. Когда между всеми соседними числами будет стоять знак, вычисляют
значение полученного выражения. Если оно чётное, то выигрывает Юра, иначе -
Витя. Может ли один из ребят играть так, чтобы всегда выигрывать (как бы не
играл другой), и если может, то как ему следует играть?
б) Та же задача, но ребята ставят между числами либо "+", либо "*".
(В конце игры при вычислении выражения сначала выполняются умножения, а
потом - сложения).
Задача 4.5.
а) Нарисуйте замкнутую 6-звенную ломаную, каждое звено
которой пересекается ровно с одним из остальных звеньев.
б) Может ли у ломаной с таким свойством быть 7 звеньев?
Задача 4.6. Несколько гномов играли в шашки. Каждый сыграл с каждым по партии. Всего было сыграно 210 партий. Сколько было гномов?
Задача 4.7. В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съела не менее трёх щук (сытых или голодных). Каково наибольшее число щук, которые могут насытиться?