Задача 10.1. По углам квадратного поля стоят 4 столба. Как расширить его, не убирая столбов, чтобы площадь увеличилась в 2 раза, а форма осталась квадратной?
Задача 10.2. Проверьте справедливость равенств в числовой пирамиде,
изображенной на рисунке, и попробуйте доказать
утверждение:
1+2+...+(n-1)+n+(n-1)+..+2+1=n2.
(Подсказка нарисована рядом с пирамидой).
Задача 10.3. Подсчитайте, сколькими способами можно поставить на обычную шахматную доску одну чёрную и одну белую ладьи так, чтобы они не били друг друга?
Задача 10.4.
а) Удастся ли, используя только три выключателя, подключить к сети люстру
с семью лампочками, чтобы можно было зажигать любое число лампочек от одной
до семи (сначала все они погашены)?
б) А если в люстре 8 лампочек?
Задача 10.5. Сколько различных слов (не обязательно осмысленных)
можно получить, переставляя буквы в слове
а) ТОЧКА ;
б) ЛИНИЯ ;
в) ПОТОП ;
г) МАТЕМАТИКА ?
Задача 10.6. Иван Юрьевич жил в однокомнатной квартире. Комната была квадратной и длины её сторон выражались целым числом метров. Недавно он обменял её на двухкомнатную квартиру той же площади. Одна из комнат имеет площадь 7 м2, адругая - вновь квадратная, и длина её стороны - целое число метров. Какая площадь этой квартиры?
Задача 10.7. Докажите, что углы, которые изображены на рисунке справа, равны.