Курсы топологии в исполнении А.Б. Скопенкова

  • Топологическая теория векторных полей на многообразиях, НМУ, весна 2016 (и ранее)
  • Дискретные структуры и алгоритмы в топологии, ФИВТ МФТИ, осень 2016 (и ранее)
  • Современные топологические методы в физике, ФОПФ МФТИ, осень 2016 (и ранее)
  • О занятиях и экзамене/зачете
  • Алгебраическая топология с геометрической точки зрения
  • Литература
  • Ранее исполненные курсы

  • Топологическая теория векторных полей на многообразиях

    Миникурс на 2 занятия, который по желанию студентов (выраженном в активном решении задач) продолжен до спецкурса.
    Миникурс/спецкурс проходит по пятницам с 12.02.2016, 17:30-19.10, ауд. 304 или 308 НМУ. Он ориентирован на студентов 2-5 курса НМУ, но его могут изучать все желающие.
    Аннотация и программа. Литература: [1, параграфы 4, 8, 9, 11, 12]. О занятиях и экзамене/зачете.
    Примеры красивых теорем, которые будут изучаться: 4.1b, 4.11b, 4.15, 4.20*, 4.29b, 4.33a, 8.19ab, 8.22a, теоремы из пунктов 9.1, 11.1 и 12.1.

    Домашние задания (по [1])
    Попытайтесь решить следующие задачи к первому занятию 12.02! Это поможет Вам решить, изучать ли этот курс. This trying is also sensible if you are sure that you will take the course. These problems are by no means obligatory, and not succeeding in solving them does not mean that you shouldn't take the course. The solutions will be discussed on the first lectures. 3.16ab, 3.19c, 3.20, 3.23*, 4.1ab*, 4.2, 4.10a, 4.11b* (не забывайте доказывать все используемые Вами результаты).
    К 19.02-3.06. 14ab*, 15abcd, 16ab, 17a, 19c, 20 из параграфа 3; 1b, 6bcd, 11abc, 14b, 19abc, 20, 22a, 24bef, 25ab, 26*, 27, 29a, 30ab*, 31abcd, 32, 34abcde*, 33a*bc*d* из параграфа 4, докажите сформулированные италиком утверждения на стр. 80 и 81, а также формулу после `то' на стр. 82; (по интернет-версии; можно пользоваться `гладким' определением степени) 1, 2, 3a, 4ab, 5abcdgh, 6abcd, 7abc, 8abcde, 9abc (в 9a ломаные могут пересекаться), 10abcdef, 12bc, 17abcdef, 19ac, 20abcdc'd', 21abcde, 29ab из параграфа 8; 1a, 2ab из параграфа 9.
    К 10.06. 12adef, 18i, 19b, 22a из параграфа 8 и 1b*, 3 (только 3=>2)(3=>1)*, 4abcde, 5ab*, 6ab, 7ac(используя (b)), 8ab из параграфа 9.


    Дискретные структуры и алгоритмы в топологии

    Спецкурс ориентирован на студентов ФИВТ, но его могут изучать все желающие.
    Аннотация и программа. Литература: [1, параграфы 2, 3, 5, 6], [SS], [2, параграфы 1, 2, 6], [BE], [P], [S]. О занятиях и экзамене/зачете.
    Примеры красивых теорем, которые будут изучаться: параграф 2 и 2.6, 2.9, 2.16, 5.8.b, 11.1*, 12.1* из [1].

    Осень 2015. Аннотация и программа. Успехи студентов.
    Спецкурс проходит по четвергам, 12:20-15.20, ауд. 532 Главного корпуса МФТИ.
    Домашние задания
    К 10.09: 1, 2abc, 3aa'b, 5abce, 8ac*, 9ab, 11, 12, 14a из параграфа 2 и 5.1 в [1]. Используйте неравенство Эйлера без доказательства. Еще 1ab*, 2.(3')*(3,6)(r,3r-3), 3a, 4 из параграфа 8 в [SS].
    К 17.09: 6a, 10, 13 (используйте экстремальное свойство без доказательства), 14b, 15ab из параграфа 2 и 2ab*, 3ab, 5abc, 6abc, 7abcd, 8bc (используя (a) без доказательства), 9a* из параграфа 5 в [1].
    К 24.09: 3cd, 7, 16ab*, 21ab*, 24a, 25ab*, 32ab*, 33ab из параграфа 2 и 2a, 3a, 8ad, 9abd, 10ab, 11a*b*c*, 12abc из параграфа 5 в [1]. Еще 7.3, 8.2.(3,6)(r,3r-3), 8.3a, 8.4 из [SS].
    К 1.10: 3.2.abc; 1ab, 2, 3abcd, 5abc*d, 10a, 11abcd, 12ab*c, 14, 15E из параграфа 6 в [2]; 16ab, 25abc* из параграфа 2 и 8ad (прочитайте п. 5.4.2), 9cd, 15abc, 16a из параграфа 5 в [1].
    К 8.10: 4ab*, 16ab, 27ab, 28abc*d, 29abc*, 30ab*c*, 31, 34ab* из параграфа 2 и 2b*, 8d, 9c, 15bc, 16bc*, т. классиф. (1), 20ab из параграфа 5 в [1]. 5ab*cd*, 11d, 12cd, 13ab*, 15S*, 16E, 17 из параграфа 6 в [2].
    К 15.10: 5b*, 15S* из параграфа 6 в [2]. 28c*, 31, 34b* из параграфа 2 и 2b*, 13*, 16c*, 18abcd, 20b из параграфа 5 и 1, 2abcd*, 3abcd, 4ab, 5abc, 6ab, 7*, 8abc, 9 из параграфа 6 в [1].
    К 22.10: 16c*, 18abcd, 20b из параграфа 5 и 1, 2abc, 3abcd, 4ab, 5abc, 6ab, 8abc, 9, 11ab, 12*, 13abc*, 14ab, 15, 16ab*c*d*e*, 17, 18a, 19*, 20ab*c*, 21a*b*, 22abcd*, 23ab*, 24a*, 25 из параграфа 6 в [1] (многие задачи полезно сначала решить для триангуляций, а затем для клеточных разбиений) и 1*, 2a*b*c*d* из [S].
    К 29.10: 2.1, 2.2, 3.3.ab, 3.4.a*b*, 3.5*, 3.6.ab*, 4.3ab, 4.4, 4.6ab*, 4.7ab*, 4.9.a из [SS].
    К 5.11: 26abcd*efh(для ориентируемых)i*, 27bc*, 28 из параграфа 6 в [1] и 5abc, 6abc, 9a* из параграфа 2 в [2].
    К 12.11: 1, 2abc*, 3abcd*e*, 4ab, 6abcde из параграфа 10 в [1] и (mod2-analogues) 1b*, 16u*e*, 17u*e*, 18a*b*, 20a*, 21*, 22u*, 23a*b*c*d*e*f*, 24b* из [S].
    К 19.11: 7ab, 8, 9ab, 10ab из параграфа 10 в [1] и 2.3, 2.7*, 2.9.ab*, 3.4.a*, 4.8, 4.9b, 4.10a*, 5.1.ab*, 5.2, 5.3ab из [SS].
    К 26.11: И 2.4, 2.6*, 3.5* из [SS] и 7, 8ab, 11abcd, 10, 14a*b* из параграфа 2 в [2].
    К 28.11: Приготовьте к сдаче задачи к 29.10-26.11, не сданные Вами ранее. 11e, 12abc, 15a*c* из параграфа 2 в [2] и 10c*d* 12a*b*c* из параграфа 10 в [1].
    К 3.12: Приготовьте к сдаче задачи к 12-28.11, не сданные Вами ранее. И 19ab, 20abcde, 21a*b*, 25a*, 26a* из параграфа 2 в [2] и 2a*bg, 3, 4a, 5*, 6 из параграфа 3 в [1] и 12d*e*f*, из параграфа 10 в [1]
    К 10.12: Приготовьте к сдаче задачи к 26.11-3.12, не сданные Вами ранее. И 7ab, 8abcd, 9abc, 10c, 11ab*, 14ab* из параграфа 3 в [1] и 11a*, 13a* из параграфа 10 в [1].
    К экзамену 17.12: Готовьтесь к контрольной работе по пройденному материалу, прорешивая задачи. Приготовьте к сдаче задачи к 10.12, не сданные Вами ранее. И 15abcd, 16aa'bcde*, 17ac*d*, 1, 4b из параграфа 3 в [1].

    Весна 2014: программа и успехи студентов.
    Весна 2013: программа и успехи студентов.


    Современные топологические методы в физике

    Спецкурс ориентирован на студентов ФОПФ, но его могут изучать все желающие.
    Аннотация и программа. Литература: [1, A, BE, P]. О занятиях и экзамене/зачете.

    Весна 2015: Аннотация и программа. Успехи студентов (пожалуйста, сообщайте о неполадках в этой таблице).
    Домашние задания
    К экзамену: все прошлые плюс 1, 2, 3a* (вывести из любого утверждения задачи 2), 26ab, 27a*b* из параграфа 8 в [1]; посмотрите мультфильм.
    К 20.05: 7abc, 8abc*, 10abe* из параграфа 5 в [1]; 4.29b, 4.30ab.
    К 13.05: 24f*, 26*, 29a из параграфа 4 в [1]; 1, 2*, 3ab, 4abc, 5abc из параграфа 5 в [1].
    К 6.05: 11abc*, 13*, 14a, 15*, 17a, 19ab, 22a, 23ab*, 24abcd из параграфа 4 в [1].
    К 29.04: 6bcd, 7bc, 8, 9*, 10abcd*e из параграфа 4 в [1].
    К 22.04: 19abc, 20, 21a, 22, 23, 24* из параграфа 3 в [1]; 1ab, 2, 3a из параграфа 4 в [1].
    К 15.04: 1*, 16a'bcde, 17abb'cd, 18ab* из параграфа 3 в [1].
    К 8.04: 12bc, 13abc*d*, 14ab, 15abcd, 16a из параграфа 3 в [1].
    К 1.04: 2bd, 3, 4a, 5, 6, 7ab, 8abcd, 9abc*, 10b, 11ab*, 12a из параграфа 3 в [1]; 2.26.b*.
    К 25.03: 21d, 23d*e*, 24*, 25ab*, 26a из параграфа 2 в [1]; 2bdf*, 3, 4a, 5, 6, 7a из параграфа 3 в [1].
    К 11-18.03: из пунктов 1.4, 2.3 и 2.4 в [2]; 21abc*d, 22abc*, 23ab* из параграфа 2 в [1].
    К 4.03: 1.1, 1.2, 1.4, 2.1*, 2.3a, 2.4a* из [P]. В качестве решения засчитывается серия картинок или даже эксперимент с веревкой, который сможет повторить преподаватель.
    К 25.02: 4a*, 9, 10a, 11b, 13a'*, 14b, 15*, 16a, 17a, 18ab*, 20ab из параграфа 2 в [1]. Определение сферы, тора, ленты Мебиуса, бутылки Клейна и сферы с ручками см. в п. 1.7. Задачей 11a можно пользоваться в остальных без доказательства.
    К 18.02: 1a, 2c*, 3a'b, 4a(для g=1)*, 5.33, 7.33, 8ab, 9(для g=1)*, 13a, 14ab(для g=1) из параграфа 2 в [1].
    К 11.02: 2.1.a, 2.2.ac*, 2.3.a, 2.5.5, 2.8.a; 3.2bdf*, 3.3*, 3.6, 3.7.a, 3.8.a*; 4.1.a, 4.8* из [1].

    Весна 2014: программа, успехи студентов. Задачи, которых не было в 2015: 1, 2, 3, 4, 5 из [CDM, section 2.4]. 2, 3, 5*, 7*, 19, 25 из [CDM, excercises to section 2, pp. 64-67] (нужно решать только для полинома Джонса, слова про полином Конвея в условии нужно игнорировать). Problem 3.4*, Theorems 3.4, 3.6 and 3.8 из [PS].


    О занятиях и экзамене/зачете

    Перед началом каждого занятия напишите список тех (пунктов) задач к этому занятию, которые Вы готовы рассказать у доски. Если в этом списке окажется менее 5 пунктов, то занятие начнется для Вас с самостоятельного решения наиболее простых из домашних задач.
    На каждое занятие приносите новую версию не засчитанного ранее
    идеального письменного решения (или новое, если все сданные ранее доведены до идеальных).
    Указания или решения (или ссылки на них) для большинства задач к некоторому занятию приведены на предыдущем. См. также указания в конце параграфов в [1, 2].
    Сдача экзамена проходит на занятиях (с первого по последнее) плюс итоговая часть после. Как будет ставиться оценка за экзамен? Рекомендации по идеальным письменным решениям.
    Некоторые задачи --- на лекционный материал (или из разобранных задач на прошлом занятии). Как и для других задач, ставя плюсик, нужно быть готовым рассказать у доски их решения --- включая детали доказательств, которые могли не разбираться на лекции. Поэтому, если не оговорено противное, то теоремами, доказанными на лекциях, пользоваться без доказательства в решениях нельзя. При этом иногда проще не повторить доказательство лекционной теоремы и использовать ее для решения задачи, а повторить необходимый фрагмент доказательства на примере решения задачи.

    Алгебраическая топология с геометрической точки зрения

    Версия 2015. Недостающие рисунки.
    Фотографии И. Решетникова, И. Федорова и других с занятий в 2013-2014.
    Осторожно, опечатки в фотографиях не исправляются - в отличие от опечаток в книге. Страницы указаны по издаваемой версии.
    К стр. 24, к доказательству неравенства Эйлера (задача 2.11a).
    К стр. 26, лист Мебиуса в книжке с тремя страницами (к задаче 2.19a, решение Т. Сеилова).
    К стр. 34, к задаче 2.15.
    К стр. 35, Утолщение графа (к задаче 2.21d, решение С. Соловьева).
    К стр. 35-36, Тор с дыркой в книжке с тремя страницами (к задаче 2.19b); краевые окружности ленты Мебиуса с дыркой меняются местами (к задаче 2.23d, рис. 25a), решение И. Сечина и М. Ягудина .
    К стр. 36, к задаче 2.23c (левая половина).
    К стр. 36-37, Преобразование диска с четырьмя ленточками, правая часть (к задаче 2.22b и другому решению задачи 2.26a, решение И. Сечина). `Разные' кольца с двумя лентами Мебиуса гомеоморфны (к задаче 2.23e, рис. 25b); преобразование диска с четырьмя ленточками, левая часть.
    К стр. 37, к доказательству формулы Эйлера (задача 2.26a).
    К стр. 45, п. 3.3: к определению степени; определение степени.
    К п. 3.3.
    К стр. 49, к задаче 3.2b.
    К стр. 51, к задаче 3.13ab.
    К стр. 52, к задаче 3.21bc; к задаче 3.22.
    К стр. 94, к определению клеточного разбиения.
    К стр. 104, к задаче 6.15a; к задаче 6.17c; к задаче 6.17d; к задаче 6.18.
    К стр. 105, к задаче 6.23d.
    К п. 8.3. Hopf fibration.
    К стр. 143, примеру линзовых пространств (слева).
    К стр. 148, определению приклеивающего слова.
    К п. 10.5. К п. 10.5.
    К стр. 151, к задачам 10.24 и 10.27. 1; 2; 3.
    К стр. 156, к задаче 10.13a; к задаче 10.16.
    16.02.2013: фото-1; фото-3. 2.03: фото-1; фото-2; фото-3. 9.03: фото-3; фото-4; фото-5; фото-6.
    16.03: фото-1; фото-2; фото-3. 13.04: фото-1; фото-2.
    26.04: фото-5; фото-6. 4.05: фото-1; фото-2; фото-2a; фото-3; фото-4.
    11.05: фото-1; фото-2; фото-3; фото-4; фото-6; фото-7; фото-9;

    Литература/References

    [1] А. Скопенков, Алгебраическая топология с геометрической точки зрения
    [2] А. Скопенков, Алгебраическая топология с алгоритмической точки зрения. Недостающие рисунки к параграфу 7.
    [A] Д. В. Аносов, Отображения окружности, векторные поля и их применения.
    [BE] В. Г. Болтянский и В. А. Ефремович, Наглядная топология.
    [BE] V.G. Boltyanskii, V.A. Efremovich, Intuitive Combinatorial Topology. Springer.
    [CDM] S.Chmutov, S.Duzhin, J.Mostovoy. Introduction to Vassiliev knot invariants, Cambridge Univ. Press, 2012. (Chapters 1 and 2.)
    [FF]А.Т. Фоменко и Д.Б. Фукс, Курс гомотопической топологии.
    [MA] Manifold Atlas.
    [L] (Higher-dimensional) linked spheres.
    [P] В.В. Прасолов, Наглядная топология.
    [P] Prasolov V.V., Intuitive topology. Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1995. Available at MiM library.
    [P'] В. В. Прасолов, Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии.
    [P''] В. В. Прасолов, Элементы теории гомологий.
    [PS] В. В. Прасолов, А.Б.Сосинский. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия, М., МЦНМО, 1997.
    [PS] Prasolov V.V., Sossinsky A.B. Knots, Links, Braids, and 3-manifolds. Amer. Math. Soc. Publ., Providence, R.I., 1996.
    [SS] A. Skopenkov, Realizability of hypergraphs and Ramsey link theory.
    [S] A. Skopenkov, A short introduction into link and knot theory.
    [SZ] A. Skopenkov and A. Zimin, Realizability of hypergraphs in Euclidean spaces.
    [Z93] E.C. Zeeman, A Brief History of Topology.

    Ранее исполненные курсы

    Литература к этим прошлым спецкурсам - та же, что и к читаемым (но другие главы в соответствии с программами).

  • Спецкурсы в НМУ, на мехмате МГУ и на мехмате МГУ осенью 2012

  • Алгоритмы распознавания реализуемости графов и гиперграфов, НМУ, весна 2015. Аннотация и программа.
    Домашние задания: из параграфа 1 и пунктов 2.1-2.4, 2.7, 4.1-4.4, 4.7-4.9 в [2]; из пункта 0.2.
    Матфак ВШЭ, осень 2013

  • Алгебраическая топология многообразий в интересных задачах, НМУ, осень 2015 (и ранее). Спецкурс ориентирован на студентов 2-5 курса НМУ, но его могут изучать все желающие.
    Аннотация и программа. Литература: [1, параграфы 8, 11, 12, 14, 16], [FF, P', P''].
    Примеры красивых теорем, которые будут изучаться: 8.2, 8.3, 8.8b, 8.25, 11.1, 12.1, теорема классификации векторных полей из п. 8.4, теорема Штифеля из п. 9.1, теоремы из п. 16.1.
    Домашние задания (по [1])
    К 25.09: 13b, 16a, 20abcd*, 21ab из параграфа 11 и 1, 2ab, 3, 7ab, 8, 9 из параграфа 14 (докажите все факты ad hoc); 18abcd*, 20abcdef*, 21, 22bcdef*, 23bcd* из параграфа 16.
    Ко 2.10: 29, 36a, 37a*, 38a из параграфа 8; 1ab*, 2ab*, 6ab, 7acd (используйте утверждение 7b без доказательства), 8a из параграфа 9; 20abcd*, 21ab из параграфа 11; 1, 2ab, 3, 7ab, 8, 9 из параграфа 14 (докажите все факты ad hoc); 18abcd*, 20abcdef*, 21, 22bcdef*, 23bcd* из параграфа 16.
    К 9.10: 1ab*, 2ab*, 6ab, 7acd (используйте утверждение 7b без доказательства), 8abc*, 10ab, 11a из параграфа 9; 20abcd*, 21ab из параграфа 11; 1, 2ab, 3 из параграфа 14 (докажите все факты ad hoc).
    К 16.10: 1, 2abcd, 3cd, 4ab, 5b, 6a из параграфа 6; 6b, 8bc*, 10ab, 11a из параграфа 9; 20abcd*, 21ab из параграфа 11; 1, 2ab, 3 из параграфа 14 (докажите все факты ad hoc).
    К 23.10: 1, 2abcd, 3cd, 4ab, 5b, 6a из параграфа 6; 6b, 8bc*, 10abc, 11a, 12ab из параграфа 9; 2b, 3, 4, 5abcd, 6ab, 7cd, 11a, 13ab из параграфа 14 (докажите все факты ad hoc).
    К 30.10: 13c, 14e, 15ab, 19abcd из параграфа 14 (докажите все факты ad hoc) и 8.2 и 9.13abc.
    К 6.11: 4ab, 6c, 7a-j, 8a-i,2,3*,4*, 9a из параграфа 8 (можно решать гладкие аналоги, если умеешь доказывать необходимые гладкие результаты) и 3.13.abcd.
    К 13.11: 12cdefg*, 14, 17abcdef, 20abcdc'd' из параграфа 8.
    К 20.11: 21abcde, 19abc, 22a* из параграфа 8 и 9.11b*, 9.12d* и 11.5abcdefg*, 11.23ab*.
    К 27.11: приготовьте к сдаче задачи к 23.10-20.11, не сданные Вами ранее, и 24abcde*, 25ab*, 26a* из параграфа 11 и 12.10a.
    НМУ, весна 2013: аннотация и программа (в окончательную программу вошли пункты 1,2,4,5,6), видеозаписи лекций
    НМУ, осень 2013: аннотация и программа, видеозаписи лекций

  • Топология-1, НМУ, весна 2014 (+ М. Скопенков). Программа. Видеозаписи лекций. Успехи студентов. Прием решений онлайн.

  • Топология-2, НМУ, осень 2014 (+М. Скопенков). Программа. Видеозаписи лекций. Успехи студентов. Прием решений онлайн.
    Домашние задачи; номера по [1].
    16ab, 17, 18ab, 19abc*, 20a*b*, 21*, 22abcd* 23a*bc* из параграфа 15;
    4ab, 13c, 20 из параграфа 3;
    1b, 6bcd, 7bc, 15*, 22a, 23ab*, 24abcdf*, 26*, 29ab, 30ab из параграфа 4;
    1, 2abcd*, 3ab*, 5abcd, 6ab, 7abc, 8ab, 9*, 10ab*c*, 11, 12a*b*, 13*, 14ab*c, 17d*e*, 21a*b*c*, 23abcd*, 24ab, 25a*, 26 из параграфа 6 (многие задачи полезно сначала решить - на отдельный плюс - для триангуляций, а затем для клеточных разбиений);
    1, 2, 3a (для k=2), 4 (для k=2), 5abcdh*i, 6abcd, 7abcdh*i, 8abcde*h*i, 9abc, 10abcdef, 11a*b*, 12a*bcde*f*, 14, 17abcd*e, 18abcdfh*i*, 19abc, 20abcdc'd', 21abcde, 22a, 30a*c* из параграфа 8 (начинайте решать предложенные задачи со случая n=1 - там, где он осмыслен; в 30.с можно использовать негомотопность отображения Хопфа отображению в точку), посмотрите мультфильм;
    9.4.abc*d, 9.13.a*;
    1, 2abc*, 3a*b*cde, 4abc*d*, 6abce (достаточно ответов), 7ab*d, 8, 9ab*, 10.a1-a6,b'ce, 11abc*, 12abd'e'f'fg*, 13ab*c, 23, 24abcdef*ghi*, 25, 26ab, 27abcde*f* 28abcd из параграфа 10.

  • Knot Theory, MiM, Spring 2014
  • General information. References. On the final mark. Hints to some homework problems are given at the previous lecture.
    Homework problems. 1.1*, 1.4, 2.1, 2.3.a, 3.1, 3.2a, 3.3, 3.5, 3.6 from [P].
    Most problems from [2] sections 1.3, 1.4, 2.3, 2.4; and from [S].
    1, 2, 3, 4, 5 from [CDM, section 2.4]; 2, 3, 5, 6, 7, 11, 12, 14, 19, 25, 28* from [CDM, excercises to section 2, pp. 64-67]. 3.1.4, 3.2.3, 3.3.3* from [CDM, section 3].
    Problems 2.1, 2.2*, 3.4, 3.5*, 4.1, 4.2, 4.3, 4.4ab, 5.1ab, 5.2, 5.3*, 6.1.ab, 6.2, 6.3*, Theorems/Results 3.4, 3.6, 3.8, 4.2, 4.3, 4.5, 4.6, 4.7, 5.5, 6.3, 6.5, 6.8 from [PS96].
    Последнее обновление/Last modification 5.6.2016.
    Contacts: s*open*o@mccme.ru, *:=k. Пожалуйста, направляйте пожелания и замечания Аркадию Борисовичу Скопенкову, s*open*o@mccme.ru, где *=k. Rambler's Top100