_____________________ Весна 2013 Здравствуйте, Гриша и Витя, Спасибо за рецензию и устное обсуждение. Прилагаю новую версию (в аттачменте, на нее скоро обновится и архивная версия http://arxiv.org/abs/0804.4357) и комментарии по поводу рецензии (ниже в теле письма). Ваш, Аркадий. _____________________________________________ Дорогой Аркадий, так как процесс рецензирования проекта твоей брошюры очень затянулся (приносим свои извинения!), я попробовал разобраться в тексте, поговорить с Витей и написать отзыв -- он ниже. ___________ 1. Ключевая теорема текста - теорема Кронекера: если уравнение простой степени (над Q, неприводимое) разрешимо в радикалах, то либо ровно один из его корней вещественен, либо все они вещественны; при этом если уравнение разрешимо в _вещественных_ радикалах, то возможен только первый случай. Доказательство в целом следует (как и указано в предисловии) изложенному в статье Тихомирова (http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/01/kv0103abel.pdf). Теорема Кронекера дает доказательство теоремы Абеля о неразрешимости уравнения 5 степени в радикалах, совершенно не похожее на стандартное (в частности, в нем не возникает неразрешимости каких-либо групп). (Изложение второй основной теоремы текста, теоремы Гаусса о построимости правильных многоугольников, кажется менее примечательным.) ************ АС. Если доказательство теоремы Гаусса не предлагается убрать из текста, то его непримечательность бессмысленно обсуждать. Если же предлагается, то нужно серьезно обосновать, почему. ************ _______________ 2. Суть этого доказательства понимаю примерно следующим образом. Пусть f - неприводимый над Q многочлен степени p. Пусть K - числовое поле, содержащее корень степени p из единицы, над которым f не имеет корней; L - его расширение корнем степени p из некоторого элемента a, в котором f имеет вещественный корень x_0. ************* Неясно, почему степень того корня, которым расширяем, равна степени данного многочлена. Неясно, почему корень x_0 вещественный, ибо обсуждается доказательство теоремы Кронекера, а не теоремы о неразрешимости в вещественных радикалах. А если обсуждается доказательство теоремы Кронекера, то неясно, почему K содержит корень степени p из единицы. ************* Группа корней степени p из единицы действует автоморфизмами L/K: если заменить в выражении x_0 через \sqrt[p]a этот корень на другой корень, \zeta^k\sqrt[p]a (\zeta - корень из единицы степени p), снова получится корень, , того же многочлена - причем в силу простоты p так мы получим все корни многочлена. Если число a вещественно, то коэффициенты в разложении x ************ АС. x не определено, видимо, имеется в виду x_0, ... ************ по степеням \sqrt[p]a вещественны (в силу вещественности x_0) *********** АС. ... тогда это обоснование неверно, ибо линейная комбинация вещественных чисел даже с невещественными коэффициентами может оказаться вещественной. ********** и \widebar{x(\zeta^k\sqrt[p]a)}=x(\bar\zeta^k\sqrt[p]a)=x(\zeta^{p-k}\sqrt[p]a) - то есть все корни, отличные от x, ************ АС. x не определено, видимо, имеется в виду x_0. ************ разбились на комплексно-сопряженные пары. Доказательство <вещественного> варианта теоремы Кронекера на этом завершено. ************* АС. Неясно, что такое `<вещественный> вариант теоремы Кронекера' - какой-то не описанный явно случай из доказательства теоремы Кронекера или теорема о неразрешимости в вещественных радикалах. Тем не менее, суть доказательства Гриша понял верно. Хоть и не вник в важные детали: в вышеприведенном доказательстве имеется серьезный пробел. Чтобы сделать вывод `\widebar{x(\zeta^k\sqrt[p]a)} - все корни, отличные от x_0', нужна неприводимость многочлена f над K, а дана только неприводимость над Q. Мы берем в качестве L `наименьшее' поле, над которым f имеет вещественный корень, а не `наименьшее' поле, над которым f приводим. Именно в преодолении этой трудности (а не в `комплексификации') заключается главное отличие доказательства теоремы Кронекера и *вещественной* теоремы неразрешимости для уравнений степени >3 от доказательства теоремы неразрешимости в вещественных радикалах. В новой версии про эту трудность написано явно, см. замечание в \S6. *********** Если же число a комплексно, присоединим к K сначала \sqrt[p]{|a|}. В силу сказанного выше, можно считать, что и в этом поле K' у многочлена f не появляется корней. Но L получается из K' присоединением корня из комплексного числа a/|a| единичного модуля - то есть к полю, содержащему exp(i\theta) было присоединено число exp(i\theta/5). Но в этом случае x_0 (в силу вещественности) вещественно выражается через cos(\theta/5) и sin(\theta/5), действие корней из единицы сдвигает аргументы тригфункция на 2pi/5 и сохраняет вещественность (ср. с доказательством непостроимости кубического корня из 2 циркулем, линейкой и трисектором). *********** АС. Вышеприведенная идея `сдвига' написана непонятно, может, я что-то не так понял и ошибки (см. ниже) нет. Эту красивую идею стоит исправить и/или написать понятно и опубликовать. Вещественное число x_0 выражается многочленом от exp(i\theta/5) с *невещественными* коэффициентами в K'. Поле K' содержится в C, но не в R. Поэтому неясно, почему сдвиг аргументов тригфункций на 2pi/5 сохраняет вещественность. Вот детали этого замечания, в обозначениях из прилагаемого текста. Вот другая идея разбора случая $r\not\in\R$ в доказательстве теоремы Кронекера. В лемме об уплотнении можно дополнительно считать, что либо $r_k\in\R$, либо $|r_k|\in F_k$. Тогда при $r\not\in \R$ можно считать, что $r=e^{i\theta}$ для некоторого $\theta\in\R$ и веществен корень $x_0=\sum\limits_{k=0}^{q-1}a_ke^{ki\theta}$ для некоторых $a_k\in F$. Так как $x_0\in\R$, то $0=\Im x_0=\sum\limits_{k=0}^{q-1}(\Im a_k\cos k\theta+\Re a_k\sin k\theta)$. Неясно, как вывести отсюда напрямую, что $0= \Im x_s = \sum\limits_{k=0}^{q-1} (\Im a_k\cos k(\theta+\frac{2\pi s}q)+\Re a_k\theta(\theta+\frac{2\pi s}q))$ для любого $s$. (Вывести можно через разбор случая $r\not\in\R$ в доказательстве теоремы Кронекера, но тогда неясно, зачем все эти ухищрения.) Кроме того, неясно, что значит `В силу сказанного выше', ибо неясно, что выше доказывается (какой-то не описанный явно случай из доказательства теоремы Кронекера или теорема о неразрешимости в вещественных радикалах) и в любом случае в сказанном выше имеется серьезный пробел. *********** _____________ 3. Основной (идущий после введния) текст представляет состоит из двух частей. Первые 2/3 - это несколько серий задач с указаниями, решениями и некоторыми комментариями (рассказывющими про решение уравнений 3 и 4 степени, излагающими доказательство теоремы Гаусса и подводящими к доказательству теоремы Кронекера). Последняя треть - доказательство теоремы Кронекера. На наш (В.А.К. и мой) взгляд такой текст _просто по своей форме_ НЕ МОЖЕТ быть опубликован в дубнинской серии. ********** АС. Это - основное замечание к тексту (как и подтвердил Гриша в разговоре). Оно сообщает, что текст не может быть опубликован в дубнинской серии не в силу своих математических или педагогических недостатков, а в силу некоторых общих принципов, принятых редколлегией дубнинской серии. Я посмотрел сайт ЛШСМ и издательства МЦНМО, обложки брошюр, и не нашел там ни состава редколлегии в дубнинской серии, ни общих принципов, по которым публикуются и отклоняются брошюры. Обычно если общие принципы (`Aims and Scope') отличаются от само собой разумеющихся (в данном случае - публикуются все тексты, подготовленные по дубнинским текстам, и свободные от серьезных математических или педагогических недостатков), то перед их применением в конкретной ситуации их объявляют (в интернете и т.д.) вместе с составом редколлегии (`Editorial Board'). И, как следствие, предварительно серьезно обсуждают этим составом. В разговоре Гриша сказал мне, что один из таких общих принципов - `в дубнинской серии не публикуются тексты, содержащие большие подборки задач' и затруднился сформулировать другие. С одной стороны, изложение в виде подборки задач, действительно, уменьшает количество потенциальных читателей. С другой стороны, книги В.В. Прасолова по планиметрии - общепризнанные хорошие учебники, несмотря на этот `недостаток'. Моя брошюра http://arxiv.org/abs/0801.1568 в дубнинской серии гораздо хуже книг В.В. Прасолова, ибо там гораздо меньше решений. Но раз ее пришлось переиздать, то, видимо, ее достоинства перевесили недостатки. Кроме того, в дубнинской серии обычно публикуются достаточно оригинальные с педагогической точки зрения материалы. Поэтому совсем не очевидно, что стоит ограничивать форму изложения. Все это показывает, что принцип `в дубнинской серии не публикуются тексты, содержащие большие подборки задач' спорный. Если бы он был явно сформулирован и принят редколлегией, состоящей из математиков, известных по качественным публикациям для школьников и студентов, то я бы переделал текст соответственно. А вот отклонять тексты на основании не сформулированных явно и публично общих принципов (вместе с составом редколлегии, принявшей эти общие принципы) мне кажется непрофессиональным. _____________________ 4. При этом * излагаемое доказательства теоремы Кронекра без сомнения ИНТЕРЕСНО, по всей видимости, малоизвестно и, как кажется, могло бы (после доработки и редактирования) быть опубликовано где-то в виде заметки; * одно доказательство теоремы Гаусса в задачах уже опубликовано автором (и П.Ю.Козловым) в МатПросвещении за 2008 год (опубликовано автором в МатПросвещении и одно доказательство теоремы Абеля - но совершенно другое); ********** АС. То доказательство теоремы Гаусса тоже совершенно другое. Об этом (как и о сравнении с другими доказательствами теоремы Абеля) было написано в \S1, в пункте `исторические и сравнительные замечания'. (В новой версии эта информация перенесена в сноску 2, ближе к делу.) ********** * в изложениях решения уравнений 3 и 4 степени в радикалах и вовсе нет недостатка (что не отменяет полезности _обучения конкретных школьников_ этим вещами). ********** АС. Неясно, что значит `вовсе нет недостатка'. В устном разговоре Гриша пояснил, что это означает, что публиковать в брошюре это нецелесообразно. Неясно, почему в брошюре дубнинской серии нецелесообразно уделить пару страниц изложению базового материала по теме брошюры. Тем более, что материал оригинален тем, что вместо немотивированных замен уравнения естественно сводятся к таким, которые понятно, как решать. ********** _________________ 5. Любая публикация любой части текста потребует, как кажется, существенного редактирования. (Признаюсь, что мне доказательство теоремы Кронекера удалось понять только после чтения статьи Тихомирова.) *********** АС. Гриша, спасибо за это важное замечание. Именно в его конкретизации заключается работа рецензента. Увы, из нижеследующих конкретных замечаний следует, что текст непонятен в основном потому, что - терминология `заточена' под начинающего, а не под профессионального математика, и - в некоторых местах написано по-английски. По-моему, второе несущественно (исправлено в новой версии), а первое хорошо (при этом, конечно, нужно привести и стандартную терминологию - в новой версии это сделано). Если у редколлегии дубнинской серии есть общий принцип `изложение и терминология должны быть ориентированы на профессионального математика, а не на начинающего', то предлагаю положить его в интернет в `Aims and Scope' перед применением в конкретной ситуации :) Однако я согласен, что в прошлой версии были серьезные недостатки. Прилагаемую новую версию я отредактировал не только в соответствии с замечаниями рецензента, но и в ходе преподавания. Буду благодарен за новые конкретные замечания. *********** Какого именно - зависит от дальнейшей судьбы текста. Но бросается в глаза обилие не вполне традиционного языка (так образ калькулятора очень нагляден, но чем терминология <получения на комплексном калькуляторе> лучше <выразимости в радикалах>, право слово, непонятно - зато ясно, чем хуже: текст становится менее проницаем); ну и уж совсем неожиданно, что в нескольких местах автор просто переходит на английский язык и обратно (as in ). С уважением, Г. Мерзон.