---------- Forwarded message ---------- From: Victor Kleptsyn Date: Wed, 25 Nov 2015 10:17:45 +0100 Subject: Fwd: Решение по брошюре. To: arkadiy skopenkov Cc: "dubna@mccme.ru LShSM" , Alexey Sossinsky Добрый день, Аркадий. 1) За прошедшее время, я запросил мнение о твоем тексте у еще двоих внешних математиков-профессионалов. Рецензия одного из них находится в приложении. ********** AS: Aug2015-Referee5.pdf ********** Мнение второго было - < почему бы и нет, после редактирования >. Я запросил подтверждения своему мнению, что изложение на страницах 13-15 должно быть улучшено - и получил его. Кроме того, он резонно спрашивает, той же ли аудитории (школьникам-студентам) адресованы педагогические и философские комментарии, и выражает сомнение в том, что это их заинтересует (и отмечает, что он бы предпочел их убрать). ********** AS: Слова рецензента `должно быть улучшено' не противоречат `принять с условием редактирования' (из контекста следует *мелкого* редактирования - квалифицированный рецензент не стал бы предлагать *серьезного* редактирования без перечисления конкретных серьезных недостатков). Даже если бы рецензент счел необходимым *серьезное* редактирование страниц 13-15 (и привел бы конкретные замечания, подтверждающие это), то можно было увидеть, что - из схемы на стр. 6 ясно, что п. 3.4 (страницы 13-15) не используется в дальнейшем. - на стр. 9 написано `В п. 3.4 приводится дополнительный материал'. Поэтому естественная рекомендация профессионального рецензента/редактора по этому поводу - не включать п. 3.4 в публикуемую версию, и принять текст к публикации, если нет других существенных замечаний. (Вообще-то я и не хотел включать этот дополнительный материал в брошюру, чтобы не откладывать ее публикацию, и включил ее по настоянию В.А. Клепцына.) Посмотрим, есть ли они. То же касается предложения по удалению педагогических и философских комментариев. (Поскольку рецензент не высказал уверенности в том, что они не заинтересуют читателей, и сослагательно выразился `предпочел бы', то разумно оставить вопрос об удалении на усмотрение автора.) Итак, в описанном В.А. Клепцыном обсуждении с рецензентом обсуждались легко исправимые недочеты. Вместо конкретных недостатков и описания *степени серьезности* необходимого редактирования приведены общие слова, влияние которых на решение о публикации/отклонении неясно. В частности, не написано, изменило ли обсуждение исходное мнение рецензента. ********** 2) Я также полностью (и < с чистого листа >) проработал данный текст. К сожалению, мое впечатление о нем все еще остается двояким: с одной стороны, мне кажется полезным, если текст с излагаемыми идеями появится; с другой - их изложение все еще оставляет желать лучшего. А именно: (2a) Страницы 13-15. Мне жаль, что за прошедшие десять месяцев у тебя не дошли руки улучшить это место, о котором я тебе уже год назад говорил. В его текущем виде школьник, дочитав до него, скорее всего, на нем < споткнется > и закроет брошюру - собственно, даже у меня оно отняло некоторое время и потребовало заметного усилия. И хотя я не хочу сказать, что не может быть школьника, подготовленного лучше меня - но все-таки это не основная потенциальная аудитория текста. Я приложил к этому письму один из вариантов, как можно эту часть переписывать, развернув словами первую часть (эффективное построение в теореме Гаусса). Ты можешь как воспользоваться им (я специально прилагаю TeX-файл с правками этой части, они выделены красным и вынесены на отдельные страницы), так и развернуть рассуждения в этом месте любым другим способом - но в текущем виде ее оставлять нельзя. Иначе дальше твой текст будут читать единицы - а тогда надо ли издавать брошюру тысячей экземпляров? ********** AS: предложенная на стр. 3 правка уже внесена. На стр. 11 - тоже (немного другие слова). Неясно: условие 3.12 что такое простые q_i зафиксируем степенями g (ибо g - не степени) какие значения принимают b_0,b_1 в определении числа N_s решение такого сравнения для $s$ - неверно, умножается не решение сравнения, а само сравнение Неудачно: как и раньше - читатель в растерянности: а что же я должен помнить из предыдущих 12 страниц? На самом деле, формально, ничего. Так что вреда от этой связки больше, чем пользы. Под заголовком `доказательство' приводятся комментарии, не являющиеся частью доказательства. Такой стиль изложения мешает поиманию многими обучающимися того, что такое формальное доказательство. (2b) Кроме того - есть следующий фундаментальный принцип: читатель в любой момент должен понимать, что происходит. К сожалению, в твоем тексте он соблюдается не всегда. Так, на с. 11 ты произносишь, < Для общего случая необходимо следующее обобщение >, и формулируешь теорему о первообразном корне. Ты не говоришь, будешь ты ее доказывать, или нет - ну, хорошо, рефлекторное предположение - видимо, автор ее сообщает без доказательства. Но тут сразу за ней идет < Указание к доказательству для p=2^m+1 >. Оканчивающееся словами < QED >. И сразу за этим ты переходишь к доказательству построимости в теореме Гаусса. А читатель остается недоумевать - ему расскажут доказательство потом, или уже все рассказали, а он, как дурак, не понял, или не расскажут совсем, потому что оно не нужно? AS: Трудности читателя преувеличены, ибо на самом деле `сразу за ней' текст следующий: Указание к доказательству для p = 2^m + 1 (только этот случай нужен для теоремы Гаусса). Если первообразного корня нет, то сравнение x^{2^{m-1}}\equiv 1 mod p имеет p-1 = 2^m > 2^{m-1} решений. QED Это исправляется в несколько фраз. Например, < Оказывается, это так и в общем случае: все ненулевые остатки по любому простому модулю можно представить как степени одного из них. Это утверждает следующая теорема: : Мы не будем доказывать ее в полной общности, ограничившись лишь указанием на то, как она доказывается в случае простого модуля p вида 2^m+1; только такой случай нужен для доказательства теоремы Гаусса. А именно: если бы такого корня не было, то сравнение : имело бы : решений - что противоречило бы теореме Безу. Заинтересованный читатель может посмотреть полное доказательство, например, в [:] > Хотя бы так. Но читателю нужно сказать, что доказывается, а что нет, каков статус каждого утверждения или шага, который делается. AS: добавил пояснения (2c) Раздел 4, с. 15. В этом месте читатель только-только закончил с разделом 3 и доказательством построимости в теореме Гаусса. Закончился смысловой блок. Теперь - нужно читателю сказать, что будет происходить дальше. Нельзя начать раздел словами про обозначения - пока читатель этого не понимает (а план, хоть он и был, был давно). Можно написать, к примеру, < В предыдущем разделе мы доказали построимость в теореме Гаусса. Настоящий и следующий разделы будут посвящены, наоборот, доказательствам невозможности - как не-построимости, так и не-выразимости в радикалах различных (вещественных и комплексных) чисел. \par В этих разделах $\Q$, как обычно, обозначает множество всех рациональных чисел, для краткости, мы будем говорить < многочлен > вместо < многочлен с рациональными коэффициентами >, подразумевая рациональность коэффициентов, если явно не оговорено обратное:. > То же самое - про фразы-связки в начале разделов 4.2, 4.3, :: === Здесь развиваются идеи из \S\ref{non12}. === Здесь развиваются идеи из \S\ref{non12} и \S\ref{non14}. === Здесь развиваются идеи из \S\ref{nonn2}. === Здесь развиваются идеи из \S\ref{non12} (но в другом направлении, чем в \S\S\ref{non14}--\ref{nongau}). === Здесь развиваются идеи из \S\ref{non13}. === Здесь развиваются идеи из \S\ref{non1p} и \S\ref{nonn2}. === Фразы-связки между этими разделами действительно нужны, чтобы читатель не потерялся. Но они должны сообщать хоть какую-то информацию! Скажем, можно (среди разных других вариантов) написать в начале раздела 4.2 - < В предыдущем разделе мы научились обосновывать, что число нельзя получить с одним извлечением квадратного корня. Посмотрим теперь на чуть более общий случай - что можно сказать, если мы разрешаем извлечь один корень четвертой степени? > А в начале раздела 4.3 - < Перейдем теперь к общей ситуации построимости: предположим, что мы извлекаем квадратный корень несколько раз, и посмотрим, что можно сказать о получаемых числах.> Я не говорю, конечно, что надо писать именно так (собственно, ниже я предлагаю и совсем другой вариант связки для начала раздела 4.2 - из-за проблем с порядком задач). Но хоть как-то < очертить направление >, сказать, < что происходит > - нужно. AS: эти фразы непонятны и мешают решать первую задачу Пример с Прасоловым. AS: В предыдущем пункте доказана построимость в теореме Гаусса. Этот и следующий пункты посвящены, наоборот, доказательствам невозможности --- как непостроимости, так и невыразимости в радикалах. Напомним, что этот и следующий пункты независимы от предыдущего. (2d) Утверждение задачи 4.12(d) просто неверно: в нем потерян случай многочлена с _одним_ рациональным корнем. А именно, если многочлен имеет вид (x-1)*(неприводимый кубический трехчлен), у него есть один построимый корень, но не все корни построимы, и у резольвенты нет рациональных корней. Что хуже, слова < кубическая резольвента > _вообще_ не встречаются в разделе 2.2, несмотря на отсылку туда. Слово < резольвента > появляется в разделе 3.2 - но кубическая резольвента не определяется и там. AS: Заменено `многочлена' на `неприводимого многочлена' ссылка на разделе 2.2 заменена на ссылку на указание к задаче 4.2.6.b (из бывшего раздела 3.2), в котором определяется кубическая резольвента. (2e) Пункты (a) и (b) задачи 4.13 весьма нетривиальны - и при столь коротком изложении их решения есть риск, что школьники (особенно те, кто с этим никогда не пересекался) воспримут их как проходные и очевидные, каковыми они вовсе не являются. А именно: Для пункта (a) лемма о сопряжении применяется, например, к Q(\sqrt{2}), полю, которому \sqrt{3} почти очевидно не принадлежит. (Точнее, хоть и очевидно, что он ему не принадлежит, это нужно доказывать, и это уже одно возведение в квадрат.) А вот с пунктом (b) все хуже: там, чтобы иметь право применить лемму о симметрии, нужно сказать, что \sqrt{5} не принадлежит Q(\sqrt{2},\sqrt{3}), то есть не представляется в виде a+b\sqrt[2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}. Хотя само по себе это утверждение очевидно должно быть верно, доказать его - сложная задача. AS: Это легкая задача для тех, кто решил задачу \ref{twoexa}. Это следует из того, что если многочлен $x^2-5$ имеет корень $a+b\sqrt3$ с $a,b\in\Q[\sqrt2]$, то он имеет корень $a-b\sqrt3$. Указание добавил. Более того, мне не вполне очевидно, что она делается школьными методами. И если этот пункт оставлять - то в решении должен быть проговорен и этот момент (чтобы, повторяю, не создать у неискушенного читателя ложного ощущения, что он задачу сделал). (2f) В разделе 4.2 читатель добросовестно начинает решать пункт 4.5(а). Решает-решает - не получается. Лезет в решение - и видит, что _все_ решения используют _последующие_ задачи. (Надо ли мне упоминать, что решение 4.6 тоже ссылается < вниз >, на решение 4.7?) Нет, ты, конечно, предупреждал в самом начале: < В таких случаях для решения задачи могут потребоваться следующие задачи. Это всегда явно оговаривается в указаниях. > Но - где та оговорка и те указания? AS: Они есть, ты сам на них ссылаешься словами `Лезет в решение', только если прочитать текст, то не `в решение', а в `в указания и решения' И тут, скорее, ситуация вида, что задача не < могла не получиться >, а < не могла получиться >. И тут не оговорить, уж совсем нельзя. Тем более, что это так просто сделать. Например: < В этом параграфе мы продолжим тренироваться доказывать не-представимость чисел при добавлении какого-то одного корня, AS: Эта фраза предназначена для специалиста. У неспециалиста она вызывает больше вопросов, чем снимает. Что такое `непредставимость при добавлении корня'? Может показаться, что мы будем изучать связь (не)представимости чисел A и \sqrtA... на этот раз - четвертой степени. Следующая задача показывает, что такие утверждения, хоть и кажущиеся очень естественными, может быть нетривиально доказать. Если она не будет получаться - посмотрите на две следующие. > AS: Добавил в начало п. 4: Невыразимость, хоть и кажущуюся очень естественной, может быть нетривиально доказать. С задач о невыразимости начинается каждый подпункт этого пункта; напомним, что если они не получаются, можно порешать следующие задачи. %Такие фразы нужно либо не писать, либо повторить несколько десятков раз %(там, где они нужны). Второе загромоздит текст. (2g) с. 23, четвертая строчка снизу (последняя строчка первого решения задачи 4.18). Идет ссылка на формулы (*) - которых ни в этом решении, ни в условии задачи, нет. При этом на всю брошюру формул и равенств (*) приходится штук пять минимум (шесть, если я не ошибся в счете, и это, конечно, отдельный непорядок), и читатель вынужден догадываться, что это формула (*) от задачи 4.30. Которую, кстати, он мог просто еще не видеть, если он хочет посмотреть решение задачи 4.18 прежде, чем двигаться дальше. Конечно, уточняющая отсылка к задаче 4.30 сняла бы проблему (но конфликт обозначений со звездочками в любом случае нужно ликвидировать). AS: Проблема снята (по-другому, но также просто). Чтобы не усложнять обозначений, я использовал звездочки в качестве локального обозначения. (2h) с. 32, доказательства сильной леммы о разложении. Нет, так - нельзя. Если одна замена < всюду заменить X на Y > еще нормальна, то в сочетании с инструкцией < вставить следующее > это уже становится неправильным. Читатель - не автомат, чтобы им так командовать. Допустимый стиль был бы - < Это доказательство аналогично доказательству части (c) основной леммы. А именно, отметим, что если многочлен $g$ оказывается приводимым над F[r], он оказывается тем более приводимым над F[r,\eps_q]. Тем самым, заменив в начальной части рассуждений основной леммы F на F[\eps_q], и, соответственно, F[r] на F[r,\eps_q], мы видим, что $g$ делится на произведение $q$ соответствующих множителей $h(x,r \eps^k)$ (как и раньше, имеющее вид $a_0(x)$). Значит, степень $g$ не меньше $q$, и в силу леммы о потере неприводимости $g$ неприводим и над $F[\eps_q]$. Отсюда, как и раньше, следует равенство $g(x)=a_0(x)$, и завершение доказательства проводится аналогично. > Я не говорю, что нужно писать именно так (собственно, стоит проверить, что в изложении выше я ничего не забыл) - можно и по-другому, но давать читателю инструкции < дописать то-то туда-то > нельзя. AS: С точки зрения `певучести' предложенное выше лучше. С точки зрения читателя, желающего разобраться, хуже - неясно, что такое `в начальной части рассуждений' (превое предложение? первый абзац?) `как и раньше', `завершение доказательства', `аналогично' (чему конкретно?) Однако я изменил текст, используя одну замену < в данном фрагменте заменить X на Y >. (2i) с. 32, на словах < Для особо заинтересованного : > происходит резкий скачок того, насколько подготовленным ты считаешь читателя. Если на с. 28 ты говорил о таблице, чтобы избежать слова < размерность >, и обходился без слов < линейная комбинация > (и, адресуясь ко школьнику, это вполне естественно), то в этот момент возникают (даже без оговорок) главный идеал (g), фактор по нему, понятия изоморфизма и расширения: Так можно делать - но тогда нужно в этом месте поставить новый параграф (5.6), и начать его словами, что в этом параграфе ты излагаешь другие доказательства, требующие больших начальных знаний у читателя. AS: Слова < Для особо заинтересованного...> и означают резкий скачок того, насколько подготовленным я считаю читателя. Заменил `особо заинтересованного' на `более подготовленного'. Впрочем, трудности читателя преувеличены, ибо возникает не `главный идеал (g) и фактор по нему', а `множество многочленов по модулю другого многочлена'; понятие расширения определено раньше. Соответствующие комментарии добавлены. В связи со всем вышеперечисленным - текст при этом уровне готовности я, увы, принять не могу. Хотя, повторяю, мне бы хотелось эти вещи школьникам показать. Формальное решение: текст возвращен автору для доработки (в западной традиции - major revision). Подписано: В. Клепцын, редактор серии. == Менее критичные замечания == с. 29, с. 31. Есть общий принцип: чем раньше сформулирована теорема, тем больше читателей ее увидят. Было бы очень хорошо _сформулировать_ теоремы Кронекера и сильную вещественную теорему о неразрешимости где-нибудь во введении. Скажем, это можно сделать в конце параграфа 1.2, со вводными словами вида < Наконец, имеются следующие два замечательных утверждения, позволяющих устанавливать невыразимость в вещественных или комплексных радикалах, исходя из вещественности корней. > В этом случае их _формулировки_ увидели бы все читатели - а не только те, кто < дожил > бы до раздела 5. А увидеть эти формулировки, несомненно, полезно. Просто, чтобы знать, что такое есть (и что/где посмотреть, если понадобится). AS: сделал с. 31, два последних абзаца 5.4 (в особенности последний): так ли нужна _здесь_ эта дискуссия? AS: где еще, если не в конце текста? с. 27, повтор формулировок признака Эйзенштейна и леммы Гаусса: этот повтор тут излишен, достаточно сослаться на задачу 4.16. AS: оставил, ибо обещано, что \S5 формально независим от \S4. с. 28, строка 6: заменить < and > на < и >. AS: сделал с. 28, строка 4 доказательства леммы о степенях двойки: < По : имеем : делится на : >. Лучше < Из леммы :, примененной к :, следует, что : делится на : >. AS: сделал с. 28, сноска 10. Сноска < другая запись _следующего_ абзаца > это все-таки плохой стиль. Ее все-таки тогда надо ставить к в конец следующего абзаца, к словам < нулевой строкой >, и писать < Читатель, знакомый с понятием размерности векторного пространства, может заметить, что наши рассуждения проговариваются на этом языке следующим образом. Мы знаем, что dim_F F[r] \le \dim_F F[\eps_q] \le q-1. А значит, найдется нетривиальная линейная комбинация q элементов $1,r,:,r^{q-1}$ пространства F[r] с коэффициентами из F, равная нулю. > AS: оставил, ибо сноска предназначена как раз для того, чтобы продвинутый читатель мог не читать следующий абзац. с.31, предпоследняя строка раздела 5.3: я бы добавил < \frac{2}{\sqrt{3}} \Im h(r\eps_3) = > после < то >. AS: сделал с.5.: < см. на [M] > - жаргонизм. Можно, к примеру, < Описание удачных примеров этой деятельности читатель может найти в материалах Московской математической конференции школьников (см. [M]). AS: сделал с.8, решение задачи 2.6 (а): стоит дописать < Указание >. AS: оставил (здесь и в нескольких десятках аналогичных мест), ибо фразы `решение задачи 2.6 (а)' нет, а есть `Указания и решения...' с.9, первая фраза раздела 3.2: < следующей просто >. Должно быть < следующей задачи достаточно просто > (или < можно просто >) AS: сделал (чуть по-другому) с. 11, строчка 5. Вообще-то, первое утверждение, iT_1(x^2) сравнимо с T_1(x) по модулю x^5-1, уже нетривиально (это первый раз, когда в тексте встречается работа с многочленами по модулю). Было бы очень хорошо его проверку вынести в упражнение, чтобы дать читателю время < вжиться >. Например: < (номер упражнения). Проверьте, что : \\ Возводя сравнение из (ссылка на упражнение) в четвертую степень, имеем :, откуда следует (проверьте!), что : для любого k. > AS: сделал, оставив в формулировке упражнения только его формулировку и изгнав из нее указания с. 11, упр. 3.7: возможно, стоит добавить $\beta:=\eps_6=:$. AS: сделал с. 11, первая фраза раздела 11: < Читатель : подготовлен к доказательству. >, из-за неудачного сочетания пассивного залога и существительного, боюсь, скорее наводит на мысль о лаборанте, подготовившем животное к опыту. Даже < : готов к собственно доказательству теоремы Гаусса > лучше, хотя все еще оставляет простор для улучшений. AS: Именно поэтому время, затраченное на оттачивание вводных фраз, и вред от них (Прасолов) ценность с.12, строки 3-4: два < Имеем > на двух строчках подряд. AS: сделал с. 20, решение задачи 4.1. Тут есть все пункты, кроме (a'); это сознательное решение (в общем-то, ничему не противоречащее), или этот пункт просто потерялся? AS: было сознательно, сейчас добавлено с. 22, второе решение 4.7, < так как многочлен $x^4-2$ неприводим над $Q$: >. Эта неприводимость формально неочевидна (в отличие от отсутствия корней >; я бы добавил ссылку на признак Эйзенштейна 4.16(b). Конечно, можно и просто всеми способами разложить этот многочлен на множители над $C$ (из которых имеет хоть малейший шанс оказаться Q-разложением только одно, на два квадратных трехчлена); но < проскакивать > это место неправильно. AS: сделал с. 22, решение 4.11(a), четвертая строчка - < : то $r\ge 3$ >. Разве не двум? AS: исправил с. 22, последняя строчка - а надо ли вводить $l$, и почему не сказать <: $z=z_1$, для которого длина r его наименьшей цепочки минимальна >? AS: надо, чтобы подчеркнуть, что, возможно, корень придется сменить