Пусть  $p$ и $q$ --- два подмножества множества ребер некоторого дерева.

Множество $p$ {\it лежит по одну сторону} (в этом дереве) от $q$, если 
$p\cap q=\emptyset$, и для любых двух концов ребер из $p$ соединяющий их путь 
в дереве содержит четное число ребер из $q$.

Наборы $p$ и $q$ {\it не зацеплены} (в этом дереве) если $p$ лежит по одну 
сторону от $q$ и $q$ лежит по одну сторону от $p$.

Для вершины $P$ графа обозначим через $\delta P$ множество выходящих из $P$ 
ребер.

Пусть $K$ и $K'$ --- два дерева с одинаковым количеством ребер. 
Они называются {\it дружественными}, если существует биекция (т.е., 
взаимно-однозначное соответствие) между их ребрами, при которой для любых двух 
вершин $P,Q$ графа $K$, соединенных путем из четного числа ребер, наборы ребер 
в $K'$, соответствующие $\delta P$ и $\delta Q$, не зацеплены в $K'$.

Напомним, что граф $G$ имеет вершины $A,C_3,C_1,C_2,A',C_3',C_1',C_2'$ и ребра 
$BB'$, $AC_i$, $A'C_i'$. 
А граф $H$ имеет вершины $B,D,P_1,P_2,P_3,Q_1,Q_2,Q_3$ и ребра 
$BD,BP_i,P_iQ_i$.

Теорема. Графы G и Н не дружественны.

%Назовём биекцию хорошей, если для любых двух вершин P и Q, находящихся на 
%четном расстоянии, образы рёбер, содержащих P и содержащих Q являются не 
%зацепленными. 

Это решение задачи 3(с) из темы 
`Как пересекаются в пространстве криволинейные сферы, или двумерные меандры' с 
Летней Конференции Турнира Городов 2012.

%Занумеруем рёбра первого графа поочередно с верхнего до нижнего ребра, 
%в том порядке, в котором они на рисунке.

Допустим, что графы G и Н дружественны, тогда существует хорошая биекция. 

Обозначим через Н(n)  образ в графе Н ребра n графа G, 
и через G(n)  образ в графе G ребра n графа H (при обратной биекции).
Пусть X - подмножество множества рёбер Н.
Обозначим за G(X) граф, образованный образами ребер из $X$.

Утверждение 1. 
Граф Н(\{AC_1,AC_2,AC_3\}) связен.

Доказательство:
Вершины A и C_1' находятся на чётном расстоянии. 
А значит Н(A'C_1') не лежит ни на каком пути, соединяющем некоторую пару рёбер 
графа H(AC_i).
Аналогично Н(A'C_2') не лежит ни на каком пути, соединяющем некоторую пару 
рёбер графа H(AC_i).
Вершины A и C_3' также находятся на чётном расстоянии. 
А значит, 

- либо Н(C_3C_3') и Н(AC_3') не лежат ни на одном из путей, соединяющем 
некоторую пару ребёр графа H(AC_i); 

- либо оба ребра H(C_3C_3') и H(AC_3')  лежат на некотором пути, 
соединяющем некоторую пару ребер графа Н(AC_i).


В первом случае граф Н(\{AC_1,AC_2,AC_3\}) связен.


Во втором случае, не уменьшая общности, этот путь Н(AC_1)Н(AC_2). 
Тогда нетрудно заметить, что Н(C_3C_3') и Н(A'C_3') имеют общую вершину B. 
Но путь из Н(AC_1) до Н(AC_3) пересекает лишь одно из рёбер 
Н(C_3C_3'), Н(AC_3'). 
Значит H(\{AC_1,AC_2,AC_3\}) и H(\{C_3C_3',A'C_3'\}) зацепленны, чего не может быть.
QED

Аналогично связен H(\{AC_1,AC_2,AC_3\}).

 
%Обозначим за A множество рёбер, графа Н, одна из вершин которого имеет степень 
%4. 

Утверждение 2.
H(C_3C_3')=BD.
 
Доказательство:
Вершины B и Q_i лежат на четном расстоянии друг от друга. А значит G(BD,DP_i) 
связен, так как его ребра в G не зацепленны ни с каким ребром G(P_iQ_i). 

Связных подграфов на 4 рёбрах в G с точностью до симметрии всего 2:
1)X имеющий вершинами C_i,A,C_3' и ребра все ребра графа G.
Но ведь G\X - это не связный граф, а G(BD,DP_i) -связный граф. 
противоречие.
2)Y имеющий вершины C_1,A,C_3,C_3',A' и ребра все ребра графа G. 
Из утв. 1 следует, что если ребро Н(C_3C_3') делит Н на два графа, 
то мощности долей равны 4. 
А значит Н(C_3C_3') = BD.
QED

Заметим, что Н(AC_i) - это или три ребра с общей вершиной или путь 
длины 3. 
Аналогично для Н(AC_i').

Но граф Н\BD нельзя разбить на два графа такого типа.