1543

Восьмой класс 1543 гимназии

Результаты по 1001 задаче или «Математическому празднику»; «Турнирам имени А.П. Савина»; «Задачам Всесоюзных математических олимпиад»; «Задачнику «Кванта»»; «Задачам по планиметрии» В.В. Прасолова; «Задачам по арифметике, алгебре и анализу» В.В. Прасолова; «Задачам турниров городов». Обратите внимание: в файле Всесоюзных указана сумма баллов.

2 сентября. Множества: объединение, пересечение, разность, симметрическая разность, дополнение, законы двойственности де Моргана. Характеристические функции и операции над ними. Формула включений-исключений.
7 сентября. Счётные множества. Счётность объединения двух счётных множеств. Счётность объединения трёх счётных множеств. Счётность объединения счётного семейства счётных множеств. Счётность множества точек с неотрицательными целыми координатами и многочлен, осуществляющий эту биекцию.
11 сентября. Счётность множества рациональных чисел. Дерево Калкина-Вилфа.
14 сентября. Несчётность континуума. Теорема Шрёдера-Берштейна: если множество равномощно своему подмножеству, то оно равномощно и любому «промежуточному» подмножеству.
16 сентября. Алгоритм Евклида.
21 сентября. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре описанной окружности, биссектрисы — в центре вписанной окружности.
23 сентября. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Серединные перпендикуляры пересекаются в центре описанной окружности. Теорема Чевы.
28 сентября. Высоты треугольника пересекаются в одной точке. Прямая Эйлера треугольника.
30 сентября. Степень точки относительно окружности. Радикальная ось двух окружностей.
5 октября. Пифагоровы тройки. Площадь прямоугольного треугольника с рациональными сторонами не может равняться ни 1, ни 2. Ни сумма, ни разность четвёртых степеней натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.
7 октября. Определитель матрицы размером 2×2. Системы линейных уравнений.
12 октября. Геометрические задачи на максимум и минимум. (В.М. Тихомиров, «Задачи на максимум и минимум».)
14 октября. Теорема Безу. Суммы квадратов, кубов последовательных натуральных чисел.
19 октября. Интерполяционная формула Лагранжа.
9 ноября. Точка Торричелли. Статья «Вписанные многоугольники» М.Ю. Панова и А.В. Спивака (первый номер «Кванта» 1999 года).
11 ноября. Теорема косинусов. Теорема Птолемея. Теорема Виета. Теорема Помпею.
16 ноября. Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом. Среднее гармоническое и среднее квадратичное. Какими свойствами обладают отрезки, параллельные основаниям трапеции и равные по длине среднему арифметическому, квадратичному, геометрическому и гармоническому оснований?
18 ноября. Неравенства Мюрхеда.
23 ноября. Функции x – x³ и x² – x³. Их локальные максимумы и минимумы. Два доказательство: при помощи замены переменной и при помощи неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом.
25 ноября. Неравенство Коши-Буняковского. Последовательность ((1 + n) : n)ⁿ и последовательность ((1 + n) : n)^{n + 1}.

Энциклопедия.