Найдите все такие целые числа n, что n2 + 1 делится на n + 5.
Найдите наибольший общий делитель чисел 2n + 3 и n + 7.
Кусок проволоки длиной 102 сантиметра разрежьте на кусочки длиной 15 и 12 сантиметров, чтобы обрезков не было.
Нарисуем прямоугольник размером 272×204, проведём его диагональ и отметим все узлы, которые лежат на этой диагонали. На сколько частей узлы разделят диагональ?
Остаток от деления любого простого числа на 30 равен простому числу или 1. Докажите это.
Вопросы. II четверть
Теорема Архимеда об отношении площади сегмента параболы к площади соответствующего параллелограмма. (Статья «Архимед и квадратура параболы», 1971 год, 7 номер «Кванта».)
Площадь прямоугольного треугольника с рациональными сторонами не может равняться 1.
Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом. Три доказательства: два по индукции (со степенями двойки и с рассмотрением произведения, равного 1) и одно методом уравнивания.
Сумма четвёртых степеней двух натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.
Дерево Калкина-Вилфа.
Теорема Шрёдера-Берштейна: если множество равномощно своему подмножеству, то оно равномощно и любому «промежуточному» подмножеству.
Пифагоровы тройки.
Площадь прямоугольного треугольника с рациональными сторонами не может равняться 2.
Разность четвёртых степеней натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.
Площадь параллелограмма с вершинами в точках (0; 0),(a; b),(a + c; b + d) и (c; d).
Теорема Безу. Два доказательства.
Суммы квадратов первых n натуральных чисел.
Суммы кубов первых n натуральных чисел.
Точка Торричелли треугольника, величины всех углов которого меньше 120 градусов. Два доказательства: при помощи поворота на 60 градусов и при помощи теоремы о том, что сумма расстояний от любой расположенной внутри равностороннего треугольника точки до его сторон равна высоте.
Теорема Пифагора и теорема косинусов.
Теорема Птолемея.
Теорема Виета для квадратного уравнения и для уравнения третьей степени.
Теорема Помпею.
Какими свойствами обладают отрезки, параллельные основаниям трапеции и равные по длине среднему арифметическому, квадратичному, геометрическому и гармоническому оснований?