Вопросы. I четверть

  1. Дерево Калкина-Вилфа.
  2. Теорема Шрёдера-Берштейна: если множество равномощно своему подмножеству, то оно равномощно и любому «промежуточному» подмножеству.
  3. Множества: объединение, пересечение, разность, симметрическая разность, дополнение, законы двойственности де Моргана.
  4. Характеристические функции и операции над ними. Формула включений-исключений.
  5. Счётные множества. Счётность объединения двух счётных множеств. Счётность объединения трёх счётных множеств.
  6. Счётность объединения счётного семейства счётных множеств.
  7. Счётность множества точек с неотрицательными целыми координатами и многочлен, осуществляющий эту биекцию.
  8. Счётность множества рациональных чисел.
  9. Несчётность континуума.
  10. Алгоритм Евклида.
  11. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре описанной окружности, биссектрисы — в центре вписанной окружности.
  12. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
  13. Серединные перпендикуляры пересекаются в центре описанной окружности.
  14. Теорема Чевы.
  15. Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
  16. Прямая Эйлера треугольника.
  17. Степень точки относительно окружности. Радикальная ось двух окружностей.
  18. Пифагоровы тройки.
  19. Треугольник наименьшего периметра, вписанный в данный остроугольный треугольник.
  20. Теорема Безу.
  21. Суммы квадратов, кубов, четвёртых степеней последовательных натуральных чисел.
  22. Интерполяционная формула Лагранжа.
  23. Найдите все такие целые числа n, что n2 + 1 делится на n + 5.
  24. Найдите наибольший общий делитель чисел 2n + 3 и n + 7.
  25. Кусок проволоки длиной 102 сантиметра разрежьте на кусочки длиной 15 и 12 сантиметров, чтобы обрезков не было.
  26. Нарисуем прямоугольник размером 272×204, проведём его диагональ и отметим все узлы, которые лежат на этой диагонали. На сколько частей узлы разделят диагональ?
  27. Остаток от деления любого простого числа на 30 равен простому числу или 1. Докажите это.

Вопросы. II четверть

  1. Теорема Архимеда об отношении площади сегмента параболы к площади соответствующего параллелограмма. (Статья «Архимед и квадратура параболы», 1971 год, 7 номер «Кванта».)
  2. Площадь прямоугольного треугольника с рациональными сторонами не может равняться 1.
  3. Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом. Три доказательства: два по индукции (со степенями двойки и с рассмотрением произведения, равного 1) и одно методом уравнивания.
  4. Сумма четвёртых степеней двух натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.
  5. Дерево Калкина-Вилфа.
  6. Теорема Шрёдера-Берштейна: если множество равномощно своему подмножеству, то оно равномощно и любому «промежуточному» подмножеству.
  7. Пифагоровы тройки.
  8. Площадь прямоугольного треугольника с рациональными сторонами не может равняться 2.
  9. Разность четвёртых степеней натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.
  10. Площадь параллелограмма с вершинами в точках (0; 0), (a; b), (a + c; b + d) и (c; d).
  11. Теорема Безу. Два доказательства.
  12. Суммы квадратов первых n натуральных чисел.
  13. Суммы кубов первых n натуральных чисел.
  14. Точка Торричелли треугольника, величины всех углов которого меньше 120 градусов. Два доказательства: при помощи поворота на 60 градусов и при помощи теоремы о том, что сумма расстояний от любой расположенной внутри равностороннего треугольника точки до его сторон равна высоте.
  15. Теорема Пифагора и теорема косинусов.
  16. Теорема Птолемея.
  17. Теорема Виета для квадратного уравнения и для уравнения третьей степени.
  18. Теорема Помпею.
  19. Какими свойствами обладают отрезки, параллельные основаниям трапеции и равные по длине среднему арифметическому, квадратичному, геометрическому и гармоническому оснований?
  20. Возрастание последовательности ((1 + n) : n)n и убывание последовательности ((1 + n) : n)n + 1.