На главную страницу ЛШСМ-2005

Владлен Анатольевич Тиморин

В.А.Тиморин планирует провести 4 занятия.

Имеются записки!

Квадратичная математика

Формула

((x1)2+(x2)2)((y1)1+(y2)2)=(x1y1-x2y2)2+(x1y2+x2y1)2

Возникают следующие естественные вопросы:

• Как написать аналогичные формулы для большего числа переменных:

  ((x1)2+(x2)2+...+(xn)2)((y1)2+(y2)2+...+(yn)2)=(сумма квадратов)?
  

  Полный ответ на этот вопрос науке не известен. Однако есть красивые теории, описывающие частные случаи: комплексные числа, кватернионы, октавы, представления алгебр Клиффорда. Это пример квадратичной алгебры.
• Что если вместо суммы квадратов рассмотреть другие квадратичные выражения, и потребовать чтобы коэффициенты были целыми? Например, если каждое из чисел a и b можно представить как 2(x₁)²-x₁x₂+3(x₂)² для некоторых целых x₁ и x₂, то верно ли, что произведение ab можно представить в таком же виде? Решая задачи такого рода, Гаусс заложил основы алгебраической теории чисел. В частности, он придумал закон композиции квадратичных форм и группы классов. Это пример квадратичной арифметики.
• Какие отображения (геометрические преобразования) переводят все отрезки прямых в дуги окружностей? Науке не известен ответ на этот вопрос. Однако есть много красивых частных случаев, связанных с . Это пример квадратичной геометрии.

Мы кратко (в порядке рекламного ролика) обсудим некоторые (или все) из перечисленных сюжетов. Будет сформулировано много задач, включающих как простые упражнения, так и нерешенные проблемы.

Для понимания курса желательно (но не обязательно) знать, что такое комплексные числа, что такое отображения одной части плоскости или пространства в другую, в частности, евклидовы движения (отображения, сохраняющие расстояния). Знакомство с линейной математикой (линейные функции, линейные уравнения) тоже будет полезно. Курс рассчитан на школьников и первокурсников.