Иван Владимирович Аржанцев

Автоморфизм n-мерного аффинного пространства — это отображение (x_1,..,x_n) \to (f_1,...,f_n), где f_i — многочлены от переменных x_1,...,x_n, для которого существует обратное отображение, также заданное многочленами.

Мы начнем с полного описания автоморфизмов прямой. Про автоморфизмы плоскости известно много, но не все; знаменитый открытый вопрос -- это проблема якобиана. Мы определим ручные и дикие автоморфизмы, докажем, что все автоморфизмы плоскости являются ручными, и немного поговорим о доказательстве теоремы Шестакова и Умирбаева (2004) о том, что автоморфизм Нагаты трехмерного пространства (1972) является диким. Также мы обсудим свойство бесконечной транзитивности действия группы автоморфизмов и его связь с локально нильпотентными дифференцированиями. Будет сформулирован ряд известных открытых проблем аффинной алгебраической геометрии: проблема сокращения, проблема выпрямления, проблема линеаризации для торов и ее связь с градуировками.

Хорошо бы понять, почему такие важные и элементарно формулируемые утверждения до сих пор не удается ни доказать, ни опровергнуть.

Несмотря на устрашающие слова, курс полностью элементарен и использует только алгебру многочленов.

Материалы

• листок 1
• листок 2
• листок 3