Максим Эдуардович Казарян

В лекциях речь пойдет о первых шагах теории особенностей дифференцируемых отображений — обобщении хорошо известного со школы исследования функций одной переменной на максимум и минимум. Эта теория дает качественное описание типичных явлений, происходящих в результате функциональных зависимостей между числовыми характеристиками различных систем. Причем не только механических, физических, но и прочих, например, социальных. Многочисленные спекулятивные приложения теории особенностей носят громкое название «теория катастроф».

Важность теории особенностей связана, однако, не только с ее многочисленными приложениями к исследованиям конкретных систем, но и с глубокими нетривиальными связями с самыми различными областями математики: топологией, алгебраической геометрией, теорией групп и алгебр Ли, теорией представлений, комбинаторикой. Некоторые из таких связей будут намечены в лекциях.

Курс рассчитан приблизительно на первокурсников, для понимания большей его части достаточно знакомство с понятием производной.

Примерная программа курса

1. критические точки функций одной переменной
2. каспидальная кривая и ласточкин хвост
3. простые особенности, ADE-классификация Арнольда и группы порожденные отражениями
4. каустики и волновые фронты
5. особенности отображений в пространствах размерности, большей 1
6. комбинаторика, связанная с критическими точками функций: числа Гурвица, перечисление деревьев и «апдаун»-последовательностей