на главную страницу ЛШСМ-2014 к списку курсов ЛШСМ-2014

Никон Михайлович Курносов и
Артём Алексеевич Авилов

О теореме Дирихле о единицах.

Н. М. Курносов и А. А. Авилов планируют провести 4 занятия.

В этом курсе мы рассмотрим красивую математическую задачу, которой математики занимались ещё в Древней Греции и Древней Индии — решение уравнения вида: $$ x^2 - q\cdot y^2 = \pm 1, $$
где $q$ — натуральное число, не являющееся квадратом. Уравнения такого типа называются уравнениями Пелля.

При больших значениях $x$ и $y$, удовлетворяющих этому уравнению, их отношение даёт нам хорошее приближение для $\sqrt q$.

Мы увидим, как это уравнение связано с разными сюжетами алгебры и теории чисел, в частности, цепными дробями и теоремой Дирихле о единицах.

  1. Диофантовы уравнения: линейные уравнения, пифагоровы тройки, уравнение Пелля.
  2. Цепные дроби. Существование решения уравнения Пелля.
  3. Числовые поля и кольца целых элементов. Единицы и классы идеалов.
  4. Теорема Дирихле о единицах и уравнение Пелля.

Для понимания курса будет достаточно хорошего владения школьным курсом алгебры, никаких специальных знаний, выходящих за рамки школьной программы, не требуется. Все понятия мы введём и определим по ходу курса.

Материалы