К. Г. Куюмжиян планирует провести 3 занятия.
Данный курс лекций имеет в основном комбинаторный характер и мотивацию из алгебраической геометрии. В алгебраической геометрии хорошими являются нормальные многообразия и плохими — ненормальные, например, кривая $x^2=y^3$. Во многих случаях проверка нормальности является комбинаторной задачей, и мы обсудим различные методы её решения. Курс будет посвящён преимущественно комбинаторной стороне вопроса, знания алгебраической геометрии не нужно.
Определение. Множество точек $v_1, v_2, \ldots, v_m$ в $\mathbb Q^n$ называется насыщенным, если $$ \mathbb Z_{\geqslant 0}(v_1, v_2, \ldots, v_m)= \mathbb Q_{\geqslant 0}(v_1, v_2, \ldots, v_m)\cap \mathbb Z(v_1, v_2, \ldots, v_m). $$
Типичная задача 1 (возникающая в алгебре и имеющая комбинаторный вид. Можно решать до начала курса). Пусть ${n\geqslant 2}$, $M$ — какое-то подмножество во множестве $$ \{(0,0,\ldots,0, \mathop{1}\limits_{\mathstrut i\mbox{-е место}},0,\ldots,0,\mathop{-1}\limits_{\mathstrut j\mbox{-е место}},0,\ldots,0) | 1\leqslant i,j \leqslant n, i\neq j\} $$ (одна единичка и одна минус единичка). Доказать, что $M$ насыщенно.
Задача 2. Рассмотрим множество $$ \{(\pm 1,\pm 1, \pm 1,\pm 1,\pm 1, \pm 1)\mid \mbox{ровно три раза $-1$}\}. $$ Докажите, что любое подмножество в нём является насыщенным.
Задача 3. Рассмотрим множество $$ \{(\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)\mid\mbox{чётное число минусов}\}. $$ Докажите, что любое подмножество в нём является насыщенным.
На первом занятии мы обсудим простейшие свойства насыщенных множеств. После этого мы обсудим насыщенность применительно к графам. Графу без петель и кратных рёбер (но с пронумерованными вершинами) соответствует множество точек $$ \{e_i+e_j \;|\; ij -\mbox{ ребро в графе}\}. $$ Алгебраистам важно знать, когда построенное множество насыщенно. Мы дадим комбинаторный ответ на этот вопрос. Если хватит времени, мы также разберём решение задачи 1.
Второе занятие будет посвящено матроидам. Я дам определение и докажу основные свойства. В большинстве книг при обсуждении матроидов вводится очень много аксиоматики и доказывается слишком много полезных свойств, мы постараемся ограничиться самым необходимым. Целью этого занятия будет доказательство теоремы Уайта:
Теорема 1. Для любой точки в аффинном конусе над классическим грассманианом $Gr(k, n)$ замыкание её $T$-орбиты нормально.
Комбинаторно это можно переформулировать так: множество векторов инцидентности баз матроида также является насыщенным.
На третьем занятии планируется изучить унимодулярные множества точек и их обобщения. Нужно знать, что такое определитель. Ключевым утверждением является теорема, доказанная Штурмфельсом.
Теорема 2. Если все ненулевые определители в нашем множестве точек равны по модулю, то данное множество насыщенно.
Мы разберём задачу 2 и обсудим задачу 3. Также планируется обсудить обобщение теоремы на те случаи, в которых не все определители равны.
Если хватит времени, то мы обсудим вопросы насыщенности в применении к системам корней и к неприводимым представлениям простых групп Ли.
Необходимые знания. От слушателей предполагается знание определения графа и знакомство с определителем (например, если вы знаете формулу объёма прямоугольного параллелепипеда в трёхмерном пространстве через определитель, этого должно хватить для понимания лекций). Остальные понятия будут определены.