на главную страницу ЛШСМ-2017 к списку курсов ЛШСМ-2017

Антон Викторович Джамай

Геометрия дискретных уравнений Пенлеве

А. В. Джамай планирует провести 4 занятия.

Целью данного курса является показать, как методы из самых разных областей математики, таких как теория динамических систем, теория дифференциальных уравнений, алгебраическая геометрия комплексных поверхностей, теория групп, теория представлений, и линейная алгебра, используются вместе для изучения нелинейных задач. Теория дискретных уравнений Пенлеве является очень хорошим примером для описания такого взаимодействия.

Программа курса

Занятие 1 (динамические системы): дискретная динамика на (комплексной) плоскости, отображения класса QRT и их геометрические свойства. Неавтономный вариант отображений QRT и дискретные уравнения Пенлеве. Метод ограничения особенностей. Признаки интегрируемости дискретных динамических систем.

Занятие 2 (алгебраическая геометрия и теория групп): дивизоры и их классы, группа Пикара, конечные и аффинные группы Вейля, системы корней, и диаграммы Дынкина. Теория Сакая: дискретное уравнение типа Пенлеве соответствует некоторому переносу в подрешетке симметрий группы Пикара семейства алгебраических поверхностей с заданной диаграммой Дынкина.

Занятие 3 (теория представлений): Построение бирациональных представлений аффиных групп Вейля. Восстановление уравнения из соответствующего вектора переноса.

Занятие 4 (дифференциальные уравнения): дискретные уравнения Пенлеве как симметрии дифференциальных уравнений Пенлеве и пространство начальных условий Окамото. Примеры приложений.

Пререквизиты

Курс ориентирован в основном на студентов, но я планирую работать с простыми конкретными примерами и надеюсь, что основные идеи будут понятны и школьникам. Минимальные требования к слушателям: знать понятия рациональной функции, линейного отображения, векторного пространства, класса эквивалентности. В дополнение к этому хорошо бы знать, что такое группа, проективное пространство, и дифференциальное уравнение.

Список литературы