на главную страницу ЛШСМ-2017 к списку курсов ЛШСМ-2017

Роман Михайлович Фёдоров

Вокруг дзета-функции

Р. М. Фёдоров планирует провести 4 занятия.

Дзета-функция Римана была введена Эйлером в 1737-м году. Она может быть задана рядом $$ \zeta(s) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} $$ при тех значениях $s$, при которых этот ряд сходится. Я буду рассказывать, в основном, об обобщениях дзета-функции Римана — так называемой арифметической дзета-функции, которая ставится в соответствие диофантову уравнению (дзета-функция Римана соответствует «тривиальному» уравнению $x=0$).

Приблизительная программа курса:

  1. Дзета-функция Римана и произведение Эйлера. Гипотеза о нулях дзета-функции.
  2. Гауссовы числа и их дзета-функция. Количество представлений натурального числа в виде суммы двух квадратов.
  3. Дзета-функция квадратичного поля и представления чисел в виде $x^2+dy^2$ при фиксированном $d$.
  4. Арифметическая дзета-функция, локальная дзета-функция и гипотезы Вейля (=Теоремы Делиня).
  5. Эллиптические кривые и гипотеза Бёрча и Свиннертона–Дайера.
  6. К-группа многообразий и мотивная дзета-функция.

Ожидается, что слушатели знают, что такое сумма ряда (хотя бы на интуитивном уровне), встречались с комплексными числами и конечными полями (хотя бы с полем из $p$ элементов, где $p$ — простое).