на главную страницу ЛШСМ-2017 к списку курсов ЛШСМ-2017

Сергей Олегович Горчинский

Квадратичные формы, К-группа Милнора и группа Брауэра

С. О. Горчинский планирует провести 3-4 занятия.

Важным арифметическим инвариантом поля является кольцо Витта, описывающее структуру квадратичных форм над данным полем. Другим инвариантом поля является К-группа Милнора, задаваемая явными порождающими и соотношениями и кодирующая некоторым чудесным образом взаимосвязь между сложением и умножением в поле.

Оказывается, что эти два инварианта тесно связаны. Чтобы проследить данную связь, удобно рассмотреть третий, более алгебраический, инвариант поля, а именно, его группу Брауэра. Группа Браэура описывает структуру некоторых конечномерных алгебр над данным полем.

Более точно, взаимосвязи между этими группами описываются в недавно доказанных гипотезах Милнора и Блоха-Като. Явное описание этих инвариантов для поля рациональных чисел тесно связано с квадратичным законом взаимности Гаусса.

От слушателей требуется общее знакомство с основными понятиями алгебры: векторные пространства, кольца, алгебры, идеалы, квадратичные формы, группы, факторгруппы, конечные расширения полей.