на главную страницу ЛШСМ-2017 к списку курсов ЛШСМ-2017

Никита Сергеевич Калинин

Модель пересыпания песка и дивизоры на графах

Н. С. Калинин планирует провести 4 занятия.

Песочные модели независимо появились как минимум трижды — в комбинаторике, теории чисел и в стат. физике (как архетипичный пример самоорганизующейся критичности). Состояние модели на графе задаётся количествами песчинок в вершинах графа и эволюционирует по следующему правилу: если количество песчинок в вершине не меньше её степени, то вершина отдаёт по одной песчинке каждому из своих соседей. Такая операция называется обвалом (toppling).

Эта простая модель, вместе с тем, имеет множество интересных свойств. Например, множество возвратных состояний (таких, которые встречаются бесконечное количество раз в некоторой динамике) образует группу. Более того, для графов верна теорема Римана–Роха — аналог фундаментального результата для римановых поверхностей. В симуляциях песочной модели можно увидеть картинки фрактального и кусочно-квадратичного типа, и лишь немногие из них получили строгое математическое обоснование на данный момент.

Эта область содержит много открытых проблем и интенсивно развивается: только в 2016, посредством изучения случайных деревьев на плоскости, было наконец доказано, что распределение лавин в некоторой динамике песочной модели удовлетворяет степенному закону — что было экспериментально открыто тридцать лет назад, в 1987, и является основной причиной популярности песочных моделей в стат. физике.

Необходимо знать что такое группа (или спросить, я готов перед курсом объяснить за пять минут). Остальные объекты будут определены по курсу и проиллюстрированы подборками задач. Рекомендуется просмотреть (хотя бы бегло) материалы старых курсов в Дубне, неожиданным образом связанных с этим курсом: «Тропическая геометрия» М.Э.Казаряна, «Повесть о двух фракталах» А.А.Кириллова.

На странице http://mathcenter.spb.ru/nikaan/misc/sand.html появятся материалы к курсу.

План курса

1 занятие: история песочных моделей, возвратные состояния, песочная группа
2 занятие: доказательства и подсказки к упражнениям из предыдущей лекции, дивизоры на графах, теорема Римана-Роха.
3-4 занятия: сходимость в песочных моделях при изменении масштаба (scaling limits). Мы обсудим как в песочных моделях появляются гармонические функции, тропическая геометрия и ковры Аполлония. Эти темы будут также обильно представлены задачами.