на главную страницу ЛШСМ-2017 к списку курсов ЛШСМ-2017

Георгий Борисович Шабат

Границы разрешимости в арифметической геометрии

Г. Б. Шабат планирует провести 4 занятия.

Между двумя разделами математики, хорошо известными школьникам — арифметикой и геометрией — есть важное различие: геометрия разрешима, а арифметика неразрешима. Несколько упрощённое толкование этих утверждений заключается в том, что компьютерную программу, способную решить «все» геометрические задачи, написать можно, а для арифметических задач такой программы не существует. Точнее, не существует даже алгоритма, который по системе полиномиальных уравнений с целыми коэффициентами определял бы, имеет ли система хотя бы одно целочисленное решение; в этом заключается отрицательное решение десятой проблемы Гильберта, полученное в прошлом веке Ю. В. Матиясевичем.

Арифметика и геометрия сходятся в одной из самых трудных областей взрослой математики — в арифметической геометрии. Здесь сосуществуют и изощрённые алгоритмы, решающие некоторые классы задач, и результаты об алгоритмической неразрешимости; во многих случаях ответы на вопросы об алгоритмической разрешимости неизвестны. Границы между разрешимым и неразрешимым часто неясны, и одна из основных целей курса — сформулировать соответствующие предположения на понятном школьникам языке.

Для понимания основной части курса не надо знать ничего, но надо быть готовыми заниматься довольно трудной математикой. Полезно, однако, иметь представление о роде алгебраической кривой и о кривизне поверхности.

Возможно, занятия будут сопровождаться компьютерными демонстрациями.

Программа курса

  1. Формальные языки и теории. Разрешимость элементарной геометрии.
  2. 10-я проблема Гильберта: обзор. Открытые проблемы.
  3. Алгебраические кривые. Гипотеза Морделла и теорема Фальтингса.
  4. Арифметика плоских кубических кривых.