на главную страницу ЛШСМ-2017 к списку курсов ЛШСМ-2017

Евгений Константинович Шиндер

Простые особые точки и соответствие Маккея

Е. К. Шиндер планирует провести 3 занятия.

$\newcommand{\C}{\mathbb{C}}$ $\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}$

Пусть задана конечная подгруппа $G\subset SL_2(\C)$. Тогда естественно рассмотреть фактор $\C^2$ по её действию; такой фактор будет комплексно-двумерен, но не будет многообразием: начало координат будет особой точкой. К этой особой точке можно применить (стандартную) процедуру разрешения особенностей.

Простейший пример получается при $G = \Z/2$, которая действует на $\C^2$ по формуле $(x, y) \mapsto (-x, -y)$. При этом факторпространство $X = \C^2/G$ оказывается квадратичным конусом $u^2 + v^2 + w^2 = 0$ в $\C^3$ (так называемая особенность типа $A_1$), а разрешение особенности $Y \to X$ раздувает вершину этого конуса, вклеивая вместо неё одну рациональную кривую.

Когда разрешение особенностей требует несколько шагов, вклеиваемые кривые могут пересекаться, задавая граф (в простейшем случае выше это одноточечный граф $A_1$). С другой стороны, по представлениям группы $G$ можно построить граф Маккея. Оказывается, эти два графа изоморфны; более того, между ними есть явный изоморфизм — который и называется соответствием Маккея.

Соответствие Маккея находится на пересечении коммутативной алгебры, алгебраической геометрии, теории особенностей и теории представлений и является элементарным и увлекательным введением в каждую из этих областей.

Предполагаются известными основы алгебры, то есть векторные пространства, кольца, группы, алгебры над полем, факторгруппы и факторкольца, максимальные и простые идеалы в кольце, а также что такое линейное действие конечной группы на векторном пространстве. Также хорошо (но необязательно) знать теорему Гильберта о нулях и что такое многообразие (алгебраическое или хотя бы гладкое).

План лекций

Лекция 1. Алгебраические многообразия. Соответствие между иделами кольца функций и подмногообразиями. Особые и неособые точки многообразий. Факторы аффинных многообразий по действию конечной группы. Особенности типа $A_n$: фактор комплексной плоскости по циклической группе, уравнение для особенности $A_n$.

Лекция 2. Общие слова про диаграммы Дынкина типа ADE. Классификация конечных подгрупп в $SL_2(\C)$. Особенности $D_n$, $E_6$, $E_7$, $E_8$: задание как фактор по бинарным группам и уравнение особенности. Если останется время: случай конечных подгрупп $GL_2(\C)$.

Лекция 3. Раздутие поверхностей. Диаграммы Дынкина и разрешение особенностей $A_n$, $D_n$, $E_6$, $E_7$, $E_8$. Соответствие Маккея.

Литература