на главную страницу ЛШСМ-2017 к списку курсов ЛШСМ-2017

Александр Петрович Веселов

Арифметика и алгебра многогранников по Эрхарту

А. П. Веселов планирует провести 3 занятия.

Рассмотрим многогранник с вершинами в целочисленной решетке и посчитаем число точек решетки внутри его. Само по себе это число мало что говорит о многограннике, даже о его объеме. В начале 1960-х годов французский математик Эрхарт предложил считать точки во всех многогранниках, получающихся растяжением исходного в целое число k раз. Результат оказался многочленом от k (называемом теперь многочленом Эрхарта), обладающим целым рядом замечательных свойств, которые я постараюсь объяснить. В частности, его старший коэффициент дает объем многогранника, но остальные коэффициенты довольно загадочны и ждут своего объяснения.

Теория Эрхарта тесно связана с алгебраической геометрией торических многообразий, но курс будет элементарным и доступным школьникам.