Денис Сергеевич Волк

Всякий раз, когда мы пытаемся количественно описать поведение объектов или систем объектов окружающего нас мира, возникает математическая модель.

Хорошая, годная модель отличается следующими свойствами:

1. она значительно проще, чем описываемая ей система;
2. однако, она отражает все важные нам аспекты поведения системы;
3. она имеет предсказательную силу: будущее, предсказываемое моделью, хорошо согласуется с результатами проверочных экспериментов.

Например, законы Ньютона позволяют построить модель падения яблока на землю. Яблоко заменяется на точку, которая движется с постоянным ускорением в направлении земли. Если нам важно уметь определять мгновенную скорость яблока и время падения, то это прекрасная модель, удовлетворяющая всем вышеперечисленным свойствам.

Работа человеческого мозга неизмеримо сложнее, чем падение яблока. Даже отдельная нервная клетка — нейрон — представляет собой весьма сложную биологическую систему. Однако, оказывается, что всю самую важную его функциональность можно свести к небольшому числу дифференциальных уравнений. Я покажу, как методы качественной теории дифференциальных уравнений (по-простому, теории картинок из стрелочек, нарисованных на плоскости или в пространстве) позволяют делать верные предсказания о поведении нейронов в ситуациях, ранее не наблюдавшихся экспериментально. Все необходимые сведения про картинки из стрелочек будут рассказаны в процессе курса.

Если останется время, я также планирую разобрать несколько моделей поведения популяций нейронов: возникновение колебательной активности как в смешанных сетях возбуждающих и тормозных нейронов, так и в сетях сплошь из тормозных, а также модель ассоциативной памяти.

Программа-максимум:

• Введение в биологическую часть: нейроны, аксоны, дендриты, каналы, насосы, синапсы, нейротрансмиттеры и нейромедиаторы.
• Взаимодействие нейронов: потенциалы действия и их последовательности, нейроны-интеграторы и нейроны-резонаторы.
• Формализм Ходжкина-Хаксли (очень кратко). Теория локальных бифуркаций 2-мерных векторных полей. Её предсказания для каждого из типов нейронов: амплитуды и частоты потенциалов действия, зависимость от шума.
• Эффекты нелокальных бифуркаций
• Смешанные модели на примере модели Ижикевича
• Переход от электрофизиологических моделей ХХ к моделям, основанным на частоте работы нейрона (firing rate models).
• Много нейронов: модели колебательной активности в мозге
• Много нейронов: сети Хопфилда — модель ассоциативной памяти, распознавание искажённых изображений