Математическое образование: вчера, сегодня, завтра…


Русский учитель в Америке

Андрей Леонович Тоом

Перевод с английского Е.А. Муравьевой

Я — русский математик и преподаватель, двадцать лет занимался исследовательской работой и учил студентов в Московском Университете, затем, как и многие другие, уехал в США. В этой статье я хочу рассказать о моем преподавательском опыте в России и Америке.

Российские контрасты

Американские представления о России так же противоречивы, как и сама Россия. Многие годы Советская Россия воспринималась, как «империя зла». С другой стороны, в Америке существовало движение «Спутник», сторонники которого утверждали, что русская образовательная система намного лучше американской. Понятно, что эти представления не стыкуются. Я начну с пояснения этого видимого противоречия.

Власть коммунистов в России возникла на обломках царизма, при котором многие люди в России не были допущены к образованию. Первые коммунисты с энтузиазмом пели «Интернационал» — «Кто был ничем, тот станет всем». Никто не знал точно, что это значит, но многие были полны энтузиазма. Многие из тех первых коммунистов искренне считали себя представителями народных интересов, но невежество мешало им в течение всего их правления. Выразительный пример описан в романе Фурманова «Чапаев». Герой Чапаев настаивает, чтобы малообразованному человеку дали официальный документ, подтверждающий его познания в медицине, наивно полагая, что именно наличие документа делает человека врачом.

Коммунисты давали весьма демократично звучащие обещания, особенно насчет того, что дети «пролетариев» получат неограниченные образовательные возможности. Дети рабочих и крестьян-бедняков действительно имели преимущества при поступлении в любые учебные заведения, а преподаватели, которые ставили им плохие оценки, могли быть обвинены в контрреволюционной деятельности. Всего лишь поколение спустя Россия получила тысячи наскоро натасканных инженеров и ученых пролетарского происхождения. Один из таких «пролетарских ученых», академик Лысенко, давал фантастические обещания, которых так и не сдержал. Однако, он производил впечатление на советских вождей, от Сталина до Хрущева, поскольку они тоже были псевдообразованными. Целая ветвь биологии, генетика, была объявлена «буржуазной лженаукой», поскольку Лысенко был против нее.

То, что псевдообразованные пролетарские «ученые» были преисполнены самомнения, свысока смотрели на «буржуазную науку», считали себя выше всех, поскольку имели бедных родителей и руководствовались «самым верным учением в мире» — марксизмом, привело к многочисленным промышленным и экологическим бедствиям. Однако коммунисты никогда не признавались в этом, а все приписывали козням «врагов». Многочисленные «враги» были арестованы и, якобы, признались. Народные массы, к этому времени уже считавшиеся «образованными», верили этим признаниям. Но бедствия продолжались и, чтобы объяснить их, властям приходилось разыскивать все больше и больше «врагов». Идя таким путем, Россия постепенно стала мировым лидером по растрате природных ресурсов и загрязнению среды: один Чернобыль чего стоит.

Мне было одиннадцать, когда умер Сталин. Долгие годы советских людей, особенно молодежь, учили, что не следует сомневаться в коммунистических догмах. Повсюду прославляли Сталина, называя его «величайшим гением всех времен и народов». Однако, можно было читать много русской и иностранной литературы, включая и американских авторов. Публикации зарубежных авторов были возможны потому, что они критиковали «буржуазное общество». Марк Твен, Джек Лондон, Эрнест Сетон, О▓Генри, Эдгар Аллан По, Поль де Крюи, Эрнест Хемингуэй, Рей Бредбери были среди моих любимых писателей.

Хорошо помню, как читал книгу об ученом, доказавшем, что у насекомых нет разума — только инстинкты. На самом-то деле он доказал, что поведение насекомых эффективно только в ситуациях, которые для них обычны. Когда экспериментатор специально создавал необычную ситуацию, насекомые совершали те же стандартные действия, хотя они явно были бесполезны в этой новой ситуации, отличавшейся от тех, к каким они приспособились в процессе эволюции. Это произвело на меня впечатление, я понял, что пропаганда пыталась превратить нас в некое подобие насекомых.

Я думал тогда и думаю теперь, что самый важный долг учителя — учить людей поступать разумно в необычных ситуациях. Когда я преподавал в России, меня искренне благодарили за это. Но я сталкивался с сильным сопротивлением некоторых моих американских учеников именно тогда, когда старался дать нечто непривычное. Они желали делать такие же тесты, какие делали прежде, только датированные другим числом. Вот поэтому-то я и решил написать эту статью.

Антиинтеллектуализм всегда играл важную роль в советском менталитете. Слово «Интеллигент» (русский вариант интеллектуала) было оскорбительным в течение всего правления Сталина. Советские вожди считали себя вправе навязывать свои мнения ученым и художникам. За годы советской власти многим представителям интеллектуальной прослойки пришлось эмигрировать, и при сегодняшней «демократии» положение не изменилось, поскольку многие ключевые позиции в российской науке до сих пор заняты теми, кто сделал карьеру политическими средствами.

Я всегда был уверен, что по-настоящему хорошее образование — это самый ценный вклад, который интеллектуалы страны могут сделать в ее будущее, в том числе для ее демократизации. Вспомним, что Великая Французская Революция была подготовлена Веком Просвещения. Очевидно, что самые худшие черты советской власти были связаны с тем, что правили псевдообразованные люди, получившие свои дипломы как «пролетарии», но беспокоившиеся только о карьере. Понятно, что советские чиновники всегда с подозрением относились к людям независимо мыслящим и по-настоящему интеллигентным.

В ответ на это, хорошее преподавание, стремящееся дать студентам настоящие знания, всегда было исполнено духом сопротивления советским чиновникам, поскольку предполагало реалистичность, широту и критичность мышления. Когда хороший преподаватель математики старался заставить своих учеников мыслить доказательно, он понимал, что такое влияние простирается далеко за пределы математики, — оно поддерживает жизнь критического духа. Обучение без мысли было связано с тиранией коммунистов, а обучение, предлагавшее решение нестандартных задач, было связано с независимостью и критичностью. По этой причине, например, книги Георга Пойя о преподавании воспринимались с опаской российскими чиновниками — это были книги о широте и критичности мышления более, чем о преподавании математики. Мы знали, что Пойя был не одинок, он ссылался на других ученых, например, на Макса Вертгеймера и его понятие «продуктивного мышления».

В годы хрущевской оттепели некоторые новые иностранные книги стали доступны и в России. Думающие люди в России очень внимательно читали всех зарубежных авторов, каких могли найти. Много важных понятий пришло из Америки: авторитарная личность (Теодор Адорно), групповое давление (Соломон Эш), подчинение авторитету (Стенли Милгрэм). Книга Эрика Берна «Игры, в которые играют люди» позволила нам понять, какую грязную игру ведут с нами власти. Книга Томаса Куна о революциях в науке была для нас книгой об идеологических революциях. Идея Милтона Рокеча об открытых и закрытых умах открыла наши умы. Джон Холт, критикуя американскую школу, заставил нас понять, что наша школа заслуживает еще худшей критики.

О себе

Мои родители принадлежали к артистическим кругам, и давление цензуры было постоянной темой разговоров. Если им случалось слишком сильно обстричь дерево, они говорили с сожалением: «М-да, отредактировали деревце». Точные науки обеспечивали максимально возможную степень независимости от властей, и мои родители с завистью говорили о математиках, которые могли позволить себе говорить чистую правду, да еще и получать за это деньги, а не неприятности. Они не могли помочь мне в изучении наук, но ждали от меня умственных усилий, и это было важно.

Позже мне очень помог мой школьный учитель математики, Александр Шершевский. Он стремился стать ученым, но не мог, поскольку в студенческие годы был замешан в «политике». (Должно быть, это была какая-то мелочь, иначе не ходить бы ему на свободе.) Меня восхищало его ответственное отношение к своему делу. Он уговорил меня посещать кружки — неофициальные математические занятия в Московском Университете. Там преимущественно занимались решением нестандартных задач. Каждый год проводилась олимпиада — конкурс на решение задач. Каждая задача была новой, непохожей на другие, и требовала нетривиальной идеи и строгого доказательства. Давалось пять часов на решение пяти задач. Обычно каждый, кто решил хотя бы одну задачу, получал приз. Так я получил несколько призов. Это убедило меня, что я смогу стать математиком. Когда закончил школу и поступил на математический факультет Московского Университета решение задач естественно привело меня к научной работе.

С первого курса я был убежден, что компетентный математик-ученый должен заниматься и преподаванием, поскольку перед глазами у меня были прекрасные примеры. Знаменитый Колмогоров создал Математический интернат как часть Московского Университета, и преподавал там. Академик Гельфанд организовал Заочную школу, и я консультировал ее преподавателей. В «Компьютерном клубе» меня прозвали «завучем» (1). Александров, Арнольд, Болтянский, Добрушин, Дынкин, Ефимов, Кириллов, Лупанов, Постников, Пятецкий-Шапиро, Синай, Цетлин, Успенский, братья Яглом и другие первоклассные математики всегда охотно читали лекции и общались со студентами. Множество новых и оригинальных задач из разных областей математики и различного уровня сложности были созданы для всех — от младших школьников до студентов-выпускников и молодых математиков-профессионалов. Теперь я был среди тех, кто создавал задачи для старших школьников и студентов университета. Давая консультации, я предлагал задачи, интересовавшие меня, и мы решали их вместе. Больше всего студенты добивались от преподавателя, чтобы он сообщал им нечто новое.

Типичным примером был Леонид Васерштейн (тогда студент), который мог заявить посреди доклада: «Все это тривиально». Если не иметь в виду ситуацию, это может показаться невежливым, но в той обстановке это было как раз полезно. Он требовал от коллег высокой компетентности. Вскоре ему пришлось эмигрировать. Теперь он профессор Университета Пенсильвании (Pennstate University). Его судьба типична: тогдашние руководители Московского Университета, неважные ученые, но твердокаменные коммунисты, использовали любые предлоги (особенно антисемитизм), чтобы избавиться от талантливых молодых ученых и укрепить собственные позиции.

Как только целью обучения становились настоящие знания, отношения с властями отходили на второй план. Оценки были лишь необходимостью, как и любой внешний контроль. Например, когда я преподавал в интернате Колмогорова, я просто ставил всем высшие оценки, поскольку они, несомненно, заслуживали их в соответствии со средним уровнем, а я хотел избавить их от проблем с властями. Но наши ученики прекрасно понимали, что от них ждут гораздо больше, чем от средних учеников, и работали во всю силу.

Любая школа, где поддерживалась независимая и творческая мысль, становилась питомником политического вольнодумства. Математический факультет Московского Университета не был исключением. Время от времени здесь происходили политические конфликты, в которых участвовал. У меня были неприятности и, возможно, это способствовало моей эмиграции.

Около половины из моих шестидесяти публикаций посвящены математике, остальные — проблемам преподавания и гуманитарным наукам. Из этой второй половины ни одна статья не была напечатана так, как мне хотелось. Все время приходилось помнить о цензурных рамках. Это не было произволом отдельных редакторов, но давлением советской системы в целом. Например, когда я приносил статью в газету «Известия», мой осторожно-смелый редактор, Ирина Овчинникова, каждый раз восклицала: «Ох, Андрей, неужели вы думаете, что это можно напечатать?», и вычеркивала наиболее острые фразы, чтобы спасти остальное.

Мои математические исследования не могли улучшить моего положения в университете, поскольку коммунистические бюрократы хорошо понимали, что никогда не буду солидарен с ними. Мои работы были известны за границей, но мой начальник вовсе не считал их ценными, поскольку ему не удавалось присвоить их. Я получил несколько приглашений из зарубежных университетов, но власти не разрешали мне выехать. Лишь по случайности в 1989 году я оказался в Италии и решил принять все имевшиеся у меня приглашения и не возвращаться назад. Из Рима я уехал в университет Ратгерс (Rutgers), затем в Бостон, затем в Остин, штат Техас. Наконец, я оказался в Колледже Воплощенного Слова, где работаю и сейчас, но об опыте работы здесь писать еще рано.

Преподавание «Алгоритмов» в Бостонском Университете

Существует массовое убеждение, что Соединенные Штаты поддерживают демократическое движение в России. В моем представлении демократия всегда связывалась с хорошим образованием для всех людей, и я знал, что так думают и сами американцы. Итак, когда я приехал в эту страну, я ожидал получить большие возможности учить студентов мыслить критично, независимо и продуктивно, не встречая препятствий со стороны властей. Мое первое впечатление не противоречило этим ожиданиям.

Мне предложили читать курс «Анализ алгоритмов» аспирантам факультета компьютерных наук Бостонского университета. Имелся отличный учебник Кормана, Лейзерзона и Райвеста. Руководство факультета пользовалось очень разумным правилом — давать полную свободу преподавателю, а я постарался применить его на благо своим студентам. За один семестр было пройдено больше половины материала, содержавшегося в этой объемистой книге. Математическое вступление было особенно полезным, поскольку я заполнил многие пробелы в предыдущем образовании моих слушателей.

Мои 19 студентов прибыли со всего мира, но большинство из них прекрасно сотрудничали друг с другом. После каждой лекции они собирались, обсуждали задачи, которые я им давал, и решали их вместе. Некоторые задачи я составлял сам.

Не было и проблем с оценками. Факультет дал мне «карт-бланш» и я использовал ее во благо моих студентов: почти все занимались усердно и получили хорошие оценки.

«Он должен учить по книге... »

Но в следующем году, когда я начал преподавать так называемый бизнес-калькулюс (2) в громадном университете штата, я оказался в совершенно новой ситуации. Все мои идеи насчет того, что студентов нужно учить думать, оказались совершенно не к месту. Больше всего меня поразило то, что многие студенты вообще не хотели, чтобы их учили думать, справляться с трудностями и решать интересные задачи. Они хотели лишь получать хорошие оценки с регулярностью конвейера.

Представьте себе, что рабочему на конвейере приходит в голову некая интересная мысль, и он пытается воплотить ее в работе. Понятно, что у него будет много неприятностей. Именно это случилось со мной, когда я впервые столкнулся с американскими студентами. Многие студенты вполне довольны, когда преподаватель просто повторяет и объясняет то, что написано в учебнике. Возможно, им самим трудно прочесть, что там написано, хотя большинство учебников элементарно просты. Сперва я этого не понял, и один студент написал про меня: «Он должен преподавать по книге и давать на экзамене примеры из текста или похожие».

Я был поражен, что не могу найти ни одной нестандартной задачи в учебнике. Но я сказал себе: вот хороший случай показать, что я умею! Я УМЕЮ придумывать нестандартные задачи! ТАК я и сделал! И мой первый тест полностью провалился: он оказался настолько сложным для студентов, что большинство из них получили очень низкие оценки. Оказалось, что чисто технические вычисления, на которые я привык не обращать внимания, для многих студентов представляли значительную сложность. Далеко не сразу я понял, что они не владеют элементарными алгебраическими преобразованиями. Потом, готовя очередной тест, старался сделать его как можно проще, и все же это не всегда удавалось; тесты оказывались слишком сложными.

Шли месяцы, и я вывел следующее правило: если проблема интересна для меня, она слишком сложна для студентов; лишь тривиальные задачи можно давать для теста. Когда я готовил тесты, мне приходилось несколько раз переделывать задачи, делая их все проще и проще. Однажды я готовил тест по курсу дискретной математики. В одной задаче речь шла о квадрате, разделенном на клетки. Сперва я взял квадрат 10х10. Затем я уменьшил его до 8х8, потом 5х5, потом 3х3, Уменьшать дальше было невозможно, и все-таки некоторые студенты запутались и в этом квадрате 3х3.

К счастью, один из моих студентов, Роберт Тафтс, бывший инженер, жил прежде в Евpoпe и Японии и имел богатый опыт учебы. Для него мой стиль преподавания был привычен, он ему нравился, и он сказал об этом другим студентам. Тогда они окрестили меня «Европейским преподавателем», и это сгладило их недовольство. И все же один студент писал: «Пожалуйста, объясните мистеру Тоому систему оценок и преподавания в ЭТОЙ стране. Мистер Тоом предполагает, что его студентов учили так же, как его самого. В колледже я получал высшие оценки по алгебре и тригонометрии и не вижу смысла получать плохие за этот курс. Пожалуйста, дайте этому человеку по рукам». В следующем семестре я исправился: я брал учебник и объяснял примеры из него. Никто не жаловался. Чем меньше я учил, тем меньше было у меня неприятностей.

Я создал много трудностей и себе самому, и руководству факультета, когда дал студентам список задач, которые сам составил. Я-то хотел дать студентам некоторые дополнительные знания, а они называли эта задачи «экстра-кредитными». Те студенты, которые их решали, претендовали на дополнительные очки, а те, кто их не решали, хотели получить полный балл. В следующем семестре я решил не давать таких задач, и никаких проблем у меня не возникло. Чем меньше я учил, тем меньше у меня было неприятностей.

Методом проб и ошибок мне пришлось выяснить, какая большая часть элементарной математики является на этом курсе табу. Не сразу я понял, что рассказываю об экспоненциальных функциях студентам, которые не знают о геометрической прогрессии. Многие студенты терялись, когда я включал в тесты частично-определенные функции. Другой раз я совершил ошибку, включив в тестовую задачу тригонометрическую функцию. Я не мог и представить, что студенты, изучавшие «калькулюс», не знают тригонометрии, но дело было именно так. Понятно, что меня вызвали к начальству и сделали выговор. Помимо этого, мне позвонил один выпускник юридического факультета и; ссылаясь на решения администрации, обвинил меня в том, что я зря трачу деньги налогоплательщиков, обучая студентов тому, что для них бесполезно. После нескольких случаев такого рода руководство факультета решило не приглашать меня на следующий год, хотя они знали, что я компетентный преподаватель, нуждающийся в постоянной работе. Они не хотели проблем со студентами.

Я заметил, что профессиональные математики относились к курсу «бизнес-калькулюс» примерно как русские к партсобраниям: никто вслух не возражает, но все стараются улизнуть. Поэтому на эту грязную работу приглашают иностранцев, вроде меня. Но иностранцы быстро приспосабливаются к системе, так что американские студенты даже не успевают заметить их неопытности. Мне хватило нескольких месяцев: напор тех студентов, которые хотели получить хорошие оценки, занимаясь как можно меньше, поддержанный руководством университета, заставил меня больше заботиться об отсутствии жалоб, чем об истинных знаниях моих студентов.

Один иностранец, не первый год учивший американцев, советовал мне по-дружески: «Слушай, не лезь на рожон. Образование в этой стране — не наша забота. Никому нет дела, если ты не успеваешь по программе, главное — не высовывайся» (3). И он поехал домой с честно заработанными долларами, так как делал именно то, чего хотели от него американцы — и студенты, и администраторы. Понятно, что в своей стране он преподает иначе.

Оценочная лихорадка

Представьте, что вы летите в самолете. Что для вас важнее: настоящая квалификация пилота или бумага, подтверждающая эту квалификацию? Или, допустим, вы заболели и нуждаетесь в помощи врача. Что для вас важнее: его знания или диплом? Уверен, что знания и умения важнее. Но несколько месяцев назад я столкнулся с большой группой людей, которые думали как раз наоборот: это были мои студенты. Не все, но многие. Они больше беспокоились о том, чтобы получить документы, подтверждающие наличие у них знаний, а не сами знания. Как только я начинал объяснять им что-то, хоть немного выходящее за пределы стандартного курса, они спрашивали с подозрением: «Это будет на тесте». Если я отвечал «нет», они тут же переставали слушать и всячески показывали, что я делаю что-то неподобающее.

Мне пришлось также уразуметь, что американские студенты желают точно знать заранее, какой процент итоговой оценки получается от домашних заданий, какой — от тестов каждого типа. Зачем? Это не секрет: чтобы наиболее эффективно решить проблему «максимина»: максимум оценки при минимуме учебы. Таким образом, оценка становится самоцелью, и ни студенты, ни родители, ни руководство университета не видят в этом ничего плохого. Все чиновники интересуются только официально зарегистрированными результатами.

Основной принцип рынка состоит, в том, что каждый стремится получить как можно больше, а заплатить как можно меньше. Это нормально. Ненормально, что некоторые студенты применяют этот принцип к учебе. Похоже, они считают, что ПОКУПАЮТ оценки и ПЛАТЯТ за них своей учебой. И они стремятся платить как можно меньше! Только по недоразумению они могут изучить что-нибудь «лишнее», и тогда предъявляют преподавателю претензии, как если бы по его вине понесли лишние расходы. И университетских чиновников это вполне устраивает.

Некоторые студенты настолько заняты, подсчитывая баллы в тестах и прикидывая оценки, что у них нет времени думать о математике. Похоже, что ни им, ни руководству университета неважно, учились ли они вообще: главное, что они преодолели еще один барьер в беге с препятствиями, ведущему к выпуску. (И даром потратили еще несколько месяцев из своих юных и самых продуктивных лет).

После каждой контрольной я объяснял правильные решения. Многие студенты говорили: «Теперь понятно». Я радовался: цель моего преподавания достигнута. Но студенты говорили это с сожалением, подразумевавшим: «Это понимание бесполезно, поскольку наступило слишком поздно, чтобы обеспечить мне хорошую оценку». Для меня тесты были средством улучшить понимание, для них понимание было средством улучшить оценку. И многие студенты просто не ходили на разборы: после контрольной им было уже ни к чему понимать что-то.

Хотя мой собственный опыт невелик, я полагаю, что описанная ситуация типична. В другом штате студенты жаловались на преподавателя математики, тоже недавнего выходца из России: «Мы платим столько же, сколько другие, но должны знать больше, чем они, чтобы получить такую же оценку».

Еще в одном штате еще один выходец из России нашел удачный способ успокоить своих студентов; когда, они спрашивали, как он будет ставить оценки, он отвечал, что будет делать это «на кривой». Я спросил, что это значит, и он ответил, что, что не знает. Главное для него было, чтобы студенты успокоились, внимательно слушали лекции и решали задачи. Теперь я знаю, что значит «на кривой», и мне это не нравится, поскольку побуждает студентов воспринимать успехи других как собственную неудачу.

Иногда установка «учиться как можно меньше» бывает оправдана, например, если учебник и учитель совсем плохи, а выбора нет. Но выбор обычно есть, а студенты не могут отличить хороший учебник от плохого. Учеба ради оценок имеет смысл, если студенты полностью разочарованы в преподавателе, если они и не надеются узнать от него что-то стоящее, — вот тогда и только тогда можно учиться ради оценки — чтобы получить хоть это. Но мой опыт показывает, что студенты, которые учатся ради оценок, делают это у любого преподавателя. Они не сознают, что оскорбляют преподавателей, ибо такое поведение для них естественно. Они хотят знать процент оценок еще до знакомства с преподавателем, университетские чиновники воспринимают такое требование гораздо серьезнее, чем содержание учебного курса.

Многим студентам, похоже, просто не приходит в голову, что учение может иметь какую-то другую ценность, помимо оценок. Они учатся долгие годы в начальной, средней и высшей школе, общаются с преподавателями и администраторами, и у них не появляется повода усомниться! Разве что попадется какой-нибудь раздражающий иностранец! Иностранцы, однако, быстро понимают, что выжить здесь может только тот, кто приспособился к системе и не критикует ее. На разных уровнях новоприбывшим дают понять, что страна нуждается в интеллектуалах, но не слишком независимых. Это одна из причин, почему многие иммигранты, бывшие прекрасными преподавателями математики в России, так мало сделали для реформы американского образования. В моем случае, давление со стороны студентов заставило меня отклониться от принципа делать все как можно лучше: мне пришлось думать, как обезопасить себя от жалоб студентов, а не об их подлинных интересах.

На одной из лекций, когда меня спросили, почему даю задачи, непохожие на те, что в учебнике, ответил: «Потому, что я хочу, чтобы вы знали элементарную математику». Я считал, что такой ответ достаточен. В Москве студент университета, которому сказали бы, что он не знает элементарной математики, смутился бы и немедленно вник бы в суть дела. Обычно элементарную математику преподают детям, которые и выглядят как дети. Представьте мое изумление, когда после такого ответа большая группа рослых взрослых поднялась и затопала к выходу. Они решили (правильно), что смогут окончить университет и не зная элементарной математики и что легко найдут преподавателя, который будет учить их по учебнику.

В следующем семестре я больше не пугал студентов обращением к азам. И хотя я прекрасно понимал, что идти вперед без заполнения пробелов в основах — все равно что строить на песке, я не мог позволить себе заботиться о студентах, поскольку должен был заботиться о том, чтобы они на меня не жаловалась. Особенно я смущал студентов, когда пытался объяснить ошибки в учебнике. Многие из них предпочитали брать на веру все, что там написано.

Я изучил Американскую конституцию и не нашел там положения, гарантирующего студентам право на невежество. Однако, многие ведут себя так, как если бы такая гарантия существовала. А многие университетские чиновники ведут себя так, как будто вынуждены с этим мириться. Почему? Один чиновник объяснил мне, что некоторое время назад некоторые студенты судились с университетом из-за оценок и выиграли дело5. Теперь деканаты заботятся о том, чтобы, больше не иметь таких неприятностей. Способные студенты лишаются возможности узнать больше, но они не жалуются (к сожалению), и чиновники не беспокоятся о них.

Я не предлагаю обвинять во всем студентов. На самом деле их взгляды отражают цинизм тех, кто планирует учебные курсы не ради пользы для студентов, а руководствуясь другими целями: например, поставить еще одно платное препятствие на пути тех, кто хочет учиться в бизнес-школе, или обеспечить занятость преподавателям и т.д. Курс «бизнес-калькулюса» словно специально придуман, чтобы мешать тем, кто хочет обучаться в бизнес-школе.

По отношению к учебе студентов можно поделить на три группы. Одни действительно хотят учиться. Они наиболее разумны, и руководству следовало бы прислушиваться к их мнению, но этого не происходит, поскольку такие студенты никогда не жалуются. Преподаватель может свести свой курс к общеизвестным вещам, прочитать только половину, и никаких неприятностей не будет. Вторая группа — те, кто не знают, чего хотят на самом деле. Они могут и усердно учиться, и тратить время зря — в зависимости от ситуации. А есть студенты, для которых все отношения с университетом сводятся лишь к преодолению еще одного бюрократического препятствия. Все мои попытки заинтересовать их предметом проваливались: я говорил им о математике, а они — о баллах и оценках, которые им надо получить. Вот их-то и слушают чиновники, потому что от них больше всего неприятностей.

Конечно, всегда и везде были ленивые студенты, но на этот раз я увидел нечто иное. Систему обучения определяли не руководители. Я увидел систему обучения, созданную в угоду тем студентам, которые рассматривали ее как сделку, которые вообще не имели духовных ценностей. И это было сделано в ущерб тем (и многим), кто действительно хотел учиться.

Культура и родители

Чтобы исключить непонимание, должен заметить, что вовсе не считаю, что какие-либо (этнические, социальные и др.) группы учащихся категорически не желают или неспособны учиться. Я вовсе не думаю, что существуют гены интереса, любопытства, внимания, систематической работы, вежливости, уважения. Я хочу лишь подчеркнуть, что предпочтения студентов культурно предопределены. Большинство моих студентов озабочены только вопросами о баллах и оценках. Те, кто спрашивал, как решить задачу (СЕГОДНЯ многие такие — дальневосточного происхождения), делали столько же ошибок, сколько и другие, но они хотели понимать, даже если это не сулило им лучшей оценки. И как раз они и получали лучшие оценки.

Это факт культуры, что некоторые студенты уважают преподавателей и саму идею учения больше, чем другие (которые уважают только деньги). И те, кто уважает учебу, добиваются лучших результатов, насколько допускает система. Некоторые студенты думают: «Я не могу решить эту задачу. Надо поразмыслить или спросить учителя. Я все-таки должен понять». Другие думают: «Я не могу решить эту задачу. Это учитель виноват, что дал такую задачу, которую я не могу решить. Не мое дело в том разбираться. Лучше пожалуюсь в деканат». И что думает студент — это важный культурный фактор.

Не секрет, что одним из важных компонентов культуры вляется влияние родителей. Известно, что интеллектуальный уровень детей обычно соответствует уровню родителей, но любой разумный исследователь найдет этому много объяснений помимо биологической наследственности. Даже на взрослых учащихся влияют родители. И это влияние огромно, когда ученики — маленькие дети. Некоторые родители добиваются от своего отпрыска хороших оценок всеми средствами, но забывают объяснить ему, что уровень его развития и настоящие знания их тоже волнуют.

Я понимаю, что некоторые студенты — первые в семье, кто получает высшее образование. Их родители всю жизнь занимались однообразной работой, стараясь получить больше денег при меньших усилиях, и были правы. Теперь их отпрыски выполняют однообразные задания в университете, стараясь получить оценки повыше, и работать поменьше, и вся семья считает, что это нормально. Родители будут очень довольны, когда их чадо окончит университет, и будут считать, что теперь в семье есть свой «интеллектуал», но на самом деле — это покупка уцененного диплома на университетской распродаже! И как многое, купленное на распродаже, такой диплом хорошо смотрится, но никуда те годится.

Я прекрасно понимаю, что большинство моих студентов в Москве были детьми интеллектуалов, поскольку в России (и в большинстве стран) гораздо меньший процент молодежи, чем в США, поступает в высшие учебные заведения. По сути, в США идет эксперимент: попытка дать высшее образование тем слоям общества, которые остаются без него в большинстве других стран» И мы должны позаботиться, чтобы это было настоящее образование, а не фикция.

Рынок против скромности

Из истории науки известно, что великие ученые были скромными. Это не было жертвой: чтобы сосредоточиться на новых задачах, нужно отложить в сторону свои прежние достижения. То же относится к способу написания учебника: нужно сосредоточиться на настоящих трудностях предмета и учиться их преодолевать (а не сводить задачу студентов к следованию стандартным правилам). По-настоящему полезные учебники должны быть скромны и должны сосредотачиваться на главном. Но скромность неуместна в мире рынка и рекламы: неизбежны претенциозность и помпа. Поверхностный и трескучий рыночный стиль плохо влияет на образование. В Бостоне мне предложили преподавать компьютерную грамотность, используя книгу, якобы обучавшую БЕЙСИКУ. Но программы там состояли в основном из комментариев и только одна программа включала цикл.

Учебник, по которому я должен был преподавать бизнес-калькулюс, — это объемистая книга, способна произвести впечатление на неспециалистов, например, родителей студентов. Названия ее глав повторяют названия действительно важных математических теорий. Но все нетривиальное из книги заботливо убрано. В каждой главе содержатся рецепты, наподобие кулинарной книги, и задачи сводятся к прямому следованию этим рецептам. Интересы будущих специалистов вовсе не учитываются (4). Материал разных глав не связан, проблемы не представляются с разных сторон, студентам не дается возможность самим выбирать методы решения. И именно этой книге было отдано предпочтение, хотя есть другие, уж во всяком случае, более полезные.

Большинство студентов молоды и незрелы, их предпочтения только формируются. Каждая школа не только преподает определенные предметы, но и создает понимание того, какими должны быть учеба и умственная деятельность. В настоящее время ситуация такова, что итоговая оценка считается главным результатом учебы. Многие студенты недостаточно самостоятельны, чтобы защититься от этого дурного влияния, и получают дутое образование, затратив настоящее время и деньги. Им не хватает достоинства и независимости, чтобы устоять перед общественной системой.

Конечно, многие американские студенты знают, что «бизнес-калькулюс» — лишь бюрократическая фикция, и те, кто действительно хочет учиться, выбирают другие курсы. Но иностранцы выбирают этот курс, наивно полагая, что получат знания и в калькулюсе, и в бизнесе, и зря тратят время. Один из моих студентов, Марк Воон, приехал из Сингапура учиться и набираться опыта. Он настойчиво решал все задачи, которые давал. К сожалению, это было не бог весть какое достижение, поскольку большинство задач были стандартными: других задач не было в учебнике. Ему нравились задачи, составленные мной, и он не сдавался, пока не решил их все. Но другие студенты жаловались на мои нововведения, и мне пришлось свести свой курс к тривиальностям. Марк своего добился в том смысле, что имел у меня высшую оценку, но он выучил гораздо меньше, чем мог бы, учитывая его прилежание и способности. Он мог и хотел учиться, я хотел учить. Он мог бы стать ученым, если бы посещал мой семинар, но ничего такого не вышло, — так был спланирован курс.

Как американские математики относятся к преподаванию

Первое, что удивило меня, было совершенно иное, чем мое, отношение американских коллег к образованию и преподаванию. Когда я заговаривал с ними об образовании, они отвечали примерно так: «Это не мое дело. Есть специальные люди, чтобы думать об этом», как будто я говорил о чем-то важном, но совершенно постороннем. По моим наблюдениям, большинство американских математиков избегают преподавательской деятельности. Когда, американский математик говорит, что хорошо устроился, обычно имеется в виду, что он не преподает. И когда математику с научными амбициями (обоснованными или нет) приходится преподавать, он нередко старается делать это механически. И студенты считают это в порядке вещей и учатся тоже механически. Преподаватели и студенты «сводят счеты», и преподавание, и изучение математики становится пустой тратой времени в угоду бюрократам. Эта система (как и любая система) прочна: если недавний иммигрант, еще неопытный, оказывается другим, например, ему нравится преподавать, он не вписывается в систему, вызывая лишь проблемы.

Отношение математиков к преподаванию прекрасно соотносится с отношением некоторых студентов к учебе. Некоторых, но не всех. Конечно, мало радости учить тех, кто желает только высоких оценок. Но все-таки в целом студенты не так безнадежны, как считают некоторые преподаватели (5). Конечно, бывают студенты, которые любому отобьют желание преподавать. Но всегда есть студенты, которые действительно хотят учиться, и ради них стоит тратить силы. На каждом из моих курсов были студенты, приходившие в восторг именно от того, на что другие жаловались. Они спрашивали, буду ли я преподавать на следующий год, и советовали опубликовать составленные мной задачи. Мои бывшие студенты приходили поблагодарить меня, они говорили, что после моего курса последующие даются им легко. Не раз мне приходилось говорить студенту: «Вы хорошо справились с моим курсом, и я ставлю вам высшую оценку. Но это не так уж много значит, поскольку то, что я вам преподаю — не настоящая математика».

В целом американцы, очень много внимания уделяют общественным проблемам. Гражданские права, окружающая среда, аборты и многие другие важные вопросы привлекают их внимание, и многие люди готовы тратить время и деньги, чтобы добиться того, что они считают правильным. Многие добровольцы работают санитарами, социальными работниками, пожарными. Возможно, они в детстве мечтали стать пожарными. Конечно, очень мужественно быть пожарным. Однако, образование остается за пределами их внимания и побуждений. Мечтают ли дети стать учителями? Похоже, что в этой стране — нет.

Среди математиков господствует мнение, что настоящее дело — это наука, а преподавание для тех, кто не способен заниматься наукой. Я думаю, что такое мнение опасно и подвергает опасности репутацию науки. Некоторые оправдывают плохое преподавание, говоря: «Раз студенты за это платят, значит, это можно продавать». Но то же самое говорят и торговцы наркотиками. Специалист отвечает за то, чтобы делать свое дело как следует, даже если адвокат не отличит правильного от неправильного. Учитель отвечает за то, чтобы учить так, чтобы ученики действительно учились.

В сущности, моральный уровень тех, кто преподает «бизнес-калькулюс», похож на уровень торгашей колониальных времен, сбывавших дешевые побрякушки и «огненную воду» невежественным туземцам, чью роль теперь выполняют студенты. Представьте, что необразованный человек заболел. Порядочно ли давать ему поддельное лекарство только потому, что он не сумеет отличить его от настоящего? То же с образованием. А вред от поддельного образования очевиден: оно плодит невежд и псевдоинтеллектуалов.

Многие годы советская власть напрасно пыталась не слышать ученых и раздражалась, когда они «совались» в общественные дела. Академик Сахаров — наиболее известный пример прямого вмешательства русского ученого в политику, но я уверен, что преподавательские усилия многих других были не менее важны. В этом смысле свободный американский рынок труда укрощает вольнодумцев гораздо эффективнее, чем любые советские тираны: большинство американских математиков стараются как можно меньше связываться с образованием из-за существующей системы вознаграждений.

Некоторые задачи из элементарной математики

Я люблю начинать курс «введение в калькулюс», предложив студентам проголосовать по следующему вопросу: Возьмем бесконечную десятичную дробь 0,99999... Эта дробь меньше единицы или равна единице? Обычно большинство решает, что дробь меньше единицы. Когда я спрашиваю, насколько меньше, студенты дают разные ответы в зависимости от того, какими калькуляторами они пользуются. Так начинается полезное обсуждение, в котором участвуют все, поскольку чувствуют, что это их действительно касается. Каждый студент пытается доказать, что именно его ответ верный, и это помогает мне убедить их, что все они ошибаются: дробь равна единице.

Вы можете спросить: зачем я начинаю с того, что заставляю студентов принимать неправильное решение, да еще в такой явной форме? Потому что я убежден, что преподаватель должен поддерживать в студентах внимание и критичность к себе. Если бы я просто сказал, что дробь равна единице, они бы охотно согласились, но так бы ничего и не поняли.

Русские студенты были довольны каждый раз, когда мне удавалось заморочить им голову. Даже ребенок понимает, что это педагогический прием для закреплени знаний. Это очевидно: мудрая природа заложила в людей, особенно в молодых, любовь к сомнению (поэтому мы платим фокусникам за то, что они нас обманывают). Хороший студент рад возможности встретиться с чем-либо озадачивающим и толкающим к ошибкам, поскольку это дает ему возможность научиться лучше соображать.

Но американские студенты слишком чувствительны ко всему, что они считают неудачей, даже самой незначительной. Когда мои интонации уводили их в неверном направлении, они воспринимали это как нарушение неких джентльменских правил. Такое впечатление, что некоторые американские студенты не могут позволить себе естественной человеческой любви к интеллектуальным приключениям из-за давления оценок. Если советы преподавателя не ведут их прямо к правильному ответу, они считают это промахом учителя, а не педагогической хитростью. Но как при таком отношении научиться преодолевать интеллектуальные трудности? Некоторые считают, что они должны преуспеть с самого начала, а если не удалось — то это непоправимо. Они считают себя обязанными выдавать правильные ответы со скоростью ковбойской перестрелки в вестернах, а если не могут, то чувствуют себя безнадежными неудачниками и не подозревают о возможности самостоятельного развития. Официально на каждом курсе требуются регулярные проверки — тесты. Проводя такие тесты, я обнаружил, что можно окончить университет, не научившись решать простейшие, буквально арифметические задачи. Я включил в свой курс задачу, которую решал еще в школе: Том и Дик могут сделать работу за 2 часа. Том и Гарри сделают ту же работу за 3 часа, Дик и Гарри — за 4 часа. Сколько времена понадобится им, чтобы сделать эту работу втроем? Хотя эта задача решается элементарной алгеброй или несколькими арифметическими подсчетами, 6ольшинство моих студентов не могли решить ее. Одна студентка написала следующую систему уравнений: Т + Д = 2, Т + Г = 3, Д + Г = 4, получила плохую оценку и спросила, за что. Я, в свою очередь, спросил, что она имела в виду под Т, Д и Г — время или что-то другое. Она сказала, что имела, в виду просто Тома, Дика и Гарри. Я заметил: «Это безграмотность». Русский студент ухватился бы за возможность узнать что-то новое, но американка восприняла это как полный провал, вышла из аудитории в слезах и перестала посещать мои занятия. Я до сих пор жалею об этом, но что еще мог сказать? Этот случай типичен в том смысле, что большинство студентов не хотят обсуждать свои ошибки, воспринимая это как ненужное огорчение. Если ты учишься для знаний, ты можешь извлечь пользу из ошибок. Но если ты учишься для оценок, это чистый мазохизм — перебирать в уме упущенные возможности.

Еще одна задача, которую я включал в свой курс: Гекльберри Финну понадобилось 5 дней, чтобы спуститься по течению Миссисипи на пароходе, и 7 дней, чтобы вернуться обратно на том же пароходе. Сколько времени понадобится ему, чтобы спуститься на то же расстояние на плоту? Ответ можно получить вычислением 2/(1/5—1/7)=35 дней. Только немногие решили задачу, хотя у них было много времени и желания получить обещанную за нее оценку.

На последнем занятии моего курса «бизнес-калькулюса» я дал задачу: Когда в магазин привезли 1000 фунтов огурцов, они содержали 99% воды>. Пока они лежали непроданными, часть воды испарилась и ее содержание упало до 98%. Сколько теперь весят огурцы? Студенты схватились за калькуляторы, но не знали, что с ними делать. Через некоторое время один дал сложный и неправильный ответ. К этому времени предполагалось, что студенты научены решать дифференциальные уравнения! Конечно, они не научились! Они лишь научились следовать готовым рецептам, не думая, — блестящее начало карьеры!

Ладно, согласимся, что большинство людей обойдутся без умения решать дифференциальные уравнения. Но зачем же эти студенты тратили время? Весь курс, учебник, изложение были похожи на предназначенные для будущих профессионалов, с одним «незначительным» изменением: использование рецептов вместо решения задач. Но это изменение погубило весь замысел. Итак, студенты потратили зря несколько месяцев, но не научились решать задачи вовсе, поскольку решение задач предполагает способность мыслить продуктивно, то есть порождать идеи, которые не даны заранее. А вот этому-то их и не учили.

Все задачи, приведенные выше, решаются на уровне средней школы. Решение подобных задач и запись решений — полезный опыт формализованного рассуждения, необходимый почти для каждого в современном мире. У всех нормальных подростков хватит ума, чтобы научиться решать такие задачи, и тот, кто решает их в четырнадцать, вполне может изучать «калькулюс» в восемнадцать. Но у большинства моих студентов, похоже, не было такого опыта. Чем же они так долго занимались в школе? Похоже, по большей части они заполняли клеточки, то есть выбирали правильный ответ среди нескольких уже готовых. Такие тесты удобны, поскольку результаты легко обрабатывать. Очевидно, поэтому их так часто и используют. Возможно, такие тесты дают ценные сведения чиновникам от образования, но они очень ограничивают инициативу учеников, не дают им опыта самоорганизации, делают их работу фрагментарной. Если записывать решения, даже неверные, их можно анализировать и научиться чему-то на своих ошибках. Но если просто ставить крестики в клеточках, вы не запомните, почему сделали именно такой выбор, не сможете проанализировать свои ошибки и извлечь из этого пользу. Вы можете лишь надеяться, что ваши условные рефлексы постепенно улучшатся, но вы лишены возможности контролировать этот процесс, как животное в лабиринте. Конечно, лучше поздно, чем никогда, поэтому я дал такие задачи моим студентам. Но, конечно, я дал их немного, поскольку должен был укладываться в программу курса.

О преподавании математики для неспециалистов

зачем преподавать математику тем, кто не будет профессионально ее применять? Это исключительно важный, но слишком объемный вопрос, чтобы подробно обсуждать его здесь. Надо, по крайней мере, понять, что он не имеет прямого утилитарного ответа. Большинство людей очень мало пользуется математикой в повседневной жизни и работе. Адвокаты, менеджеры, врачи и медсестры, повара и парикмахеры, писатели и художники, политики и чиновники, бизнесмены, торговцы и актеры не решают квадратных уравнений, не пользуются теорией множеств, теорией чисел, аналитической геометрией, не дифференцируют и не интегрируют.

Пожалуйста, не подумайте, что я ПРОТИВ преподавания математики. Я ЗА. Я хочу подчеркнуть, что обучение математике имеет смысл только тогда, когда это обучение учит думать, учит решать задачи (6). И до меня много было сказано в том же духе, например, что в математике «ноу-хау» — это способность решать задачи, и это гораздо важнее, чем просто владение информацией (Георг Пойя, О программе обучения будущих учителей средней школы). Но многие курсы блещут отсутствием мысли и нетривиальных задач. Многие курсы математики для гуманитарной школы сделаны по правилу: возьми профессиональный курс, сохрани скорлупу и удали дро. То есть, сохрани видимость, термины, даже некоторые формулировки, но убери все, что заставляет думать.

С первого взгляда может показаться, что этого легко избежать, поскольку в разных учебниках есть много задач, которые, несомненно, гораздо полезнее для студентов, чем «бизнес-калькулюс», которые и не бизнес, и не калькулюс. Но это не так из-за давления рынка. Предположим, что некий автор напишет учебник с задачами, которые требуют умения думать для их решения, и некий колледж построит учебный курс с использованием этого учебника. Студентам придется думать, а не заучивать громкие слова. Колледжу придется объявить, что его студенты просто учатся решать некоторые математические задачи. И какие же родители пошлют туда своего отпрыска? Какая фирма возьмет на работу его выпускников? Чем они будут хвастаться?

Чтобы превзойти конкурентов, каждый университет и колледж должен заявлять, что учит чему-то сверхсовременному и продвинутому. Но возможно ли преподавать продвинутые курсы тем, кто не знает элементарной математики? Конечно, нет. Что же делать? Очень просто! Выброси все нетривиальное, сведи задачу студентов к использованию готовых рецептов без всякой мысли — и ты превзошел и преуспел. Ты сделаешь вид, что учишь чему-то продвинутому — это даст студентам возможность сделать вид, что они действительно образованные,  — фирмы и учреждения, берущие их на работу, сделают вид, что они набирают образованных сотрудников. Но однажды это цепочка порвется.

Успехи... в чем?

Американская способность осуществлять задуманное вошла, в поговорку. Вопрос в том, что именно осуществлять. Не знаю универсальных средств, но призываю, по крайней мере, увидеть проблему. Многие, похоже, не видят вообще никакой проблемы.

Я пытался понять, что американские политики думают о качестве образования, и пришел к выводу, что они о нем ничего не думают. Например, я слышал, как кандидат в президенты Клинтон говорил, что каждый американец должен получить возможность высшего образования. Это звучит великолепно, пока не заметишь, что Клинтон ничего не сказал о качестве. Нетрудно дать свидетельство об окончании высшей школы каждому, кто попросит. Если бы Клинтон меня услышал, он бы заявил с возмущением, что он имел в виду совсем не то. Но, что именно он имел в виду, неизвестно. Это не значит, что поддерживаю Буша или другого политика: у них у всех мыслей относительно качества образования не больше, чем у Клинтона.

Когда американцев стараются убедить уделять больше внимания системе образования, их предупреждают: учитесь лучше, а то придет Большой Злой Русский, или Японец, или Европеец и съест вас! Так можно произвести впечатление на политиков. Но это не подействует на тех, кто действительно должен учиться, то есть, на студентов, поскольку лишь внутренняя мотивация (назовем ее просто природным любопытством) порождает созидательный дух, необходимый для действительно успешной учебы.

В творческой деятельности (а учеба принадлежит к ней) достигают успеха лишь те, кто любит свое дело. Когда Ньютон открывал свои законы, он делал это не потому, что он ждал вознаграждения, — он был исключительно любознателен. Знаю, что вы хотите возразить: большинство студентов — не Ньютоны. Но они не родились такими. Весь мой опыт дает мне основания думать, что большинство детей — «Ньютоны», хотя бы по степени любознательности. Природа дает большой простор для развития, и наше дело — строить на нем, обращать природу в культуру, преобразовывать природное любопытство и любовь к загадкам в зрелую любовь к регулярной умственной работе. Только духовная мотивация может обеспечить импульсы, достаточно сильные, чтобы поддерживать интенсивные умственные усилия, необходимые для плодотворного развития.

И мы должны помнить, что интеллектуальный успех не может быть достигнут одним интеллектом: тут требуется вся личность, включая этический и эстетический аспекты. Однажды я написал на доске теорему и сказал студентам: «Смотрите, какая красивая теорема!». Некоторые засмеялись. Я спросил, в чем дело. Один из них объяснил: «Профессор Тоом, ну как может теорема быть красивой!». И я понял, что эти бедняги, всегда учившиеся из-под палки оценок и никогда из естественной любознательности, действительно не в силах представить, как может абстракция быть красивой.

Сейчас многие американцы говорят: мы победили в «холодной войне», но это неверно. Да, советская власть проиграла холодную войну, но это еще не значит, что Америка победила. Советские бюрократы проиграли, потому что жили в бредовом мире «преимуществ советской системы», «советского типа демократии», «строительства коммунизма», «энтузиазма советского народа» и других лозунгов их собственной пропаганды. Недостаток реализма, страх любого независимого суждения, огромная пропасть между реальностью и официальными утверждениями опрокинули советскую власть. Много можно говорить о падении Советов, но я уверен, что забота о бюрократической фикции в ущерб реальности сыграла очень важную роль.

К сожалению, то же можно сказать и о некоторой части американского образования. И среди тех, кто должен учиться, и среди тех, кто должен учить, есть люди, вообще не понимающие, что такое образование. Они возлагают все надежды на бюрократическую форму, а не на сущность культуры. Позвольте повторить, что Америка в этом смысле не одинока. Есть много стран, где средний уровень образования хуже американского (например, Россия). Я не согласен с теми, кто клеймит так называемый «американский практицизм». Я бы прекрасно примирился с реалистичным и разумным практицизмом. К сожалению, то, с чем сталкивался я, — лишь имитация практицизма. Очень непрактично тратить юные годы (и родительские деньги), чтобы получать оценки, ничего не соображая. И совершенно нецелесообразно мешать преподавателю работать в полную силу. Не только ученый, но и инженер, чиновник или бизнесмен мало чего добьется, если не умеет мыслить. Он поживет неплохо под защитой своей сильной и богатой страны, но в благодарность добавит ей проблем, а не решений.

Это верно, что Америкой управляет народ, но не всегда для народа. Люди говорят интеллектуалам: дайте нашему чаду свидетельство об образовании и мы не потерпим дискриминации против невежд! Интеллектуалы не спорят и дают много красивых бумаг. (Конечно, име дело с собственными детьми, интеллектуалы хорошо объясняют им, в чем состоят их настоящие интересы. Так что дети интеллектуалов никогда не жалуются на преподавателей, которые нарушают их право на невежество.) Все довольны: молодежь получает красивые бумажки, чтобы вставить в рамочку и повесить на стену, родители получают «образованных» детей, ученые возвращаются к своим исследованиям, потратив минимум сил и времени на преподавание. Богатые, умные и образованные люди тоже довольны: они-то дают своим детям НАСТОЯЩЕЕ образование, так что их будущее обеспечено.

А как насчет будущего других? Обеспечено ли оно? Те, кто учится ради оценок, рассчитывают добиться успеха в своем деле. Здесь и сейчас они правы, поскольку сегодня почти каждый американец с дипломом, пусть и невежда, живет лучше, чем гораздо более образованные люди в более бедных странах мира. Человек с дипломом обязательно найдет работу в своей области: так считают все. Но так не может продолжаться долго в ситуации, когда «знания» и диплом тавтологически означают друг друга. Блага, которыми пользуются американцы — это результат настоящих знаний и настоящих усилий предыдущих поколений, чье наследство теперь обесценивается из-за бюрократического характера системы образования. И в один прекрасный день невежды с дипломами и степенями смогут захотеть власти, соответствующей их бумагам, а не реальным знаниям. У нас, русских, есть некий опыт такого рода, и не только у нас.

В Америке активисты невежества пытаются навязывать свою волю университетам и иногда преуспевают в этом. За счет тех, кто действительно хочет учиться. Какая часть американского образования действительно развивает студентов, а какая сводится к претенциозной ерунде, вроде так называемого «бизнес-калькулюса»? Пока не знаю. И не знаю, кто знает. Я изучаю это на опыте, и учиться понадобится еще долго. Но мне ясно уже сейчас, что в современном мире добьются успеха те страны, которые будут действительно учить своих студентов думать и решать задачи. Я искренне желаю, чтобы Америка оказалась в их числе.

Примечания

(1). Многих мыслителей с интересом читали в нашем клубе. Читая «Штурмы разума» Сеймура Паперта, мы думали: «Если в Америке так заботливо учат мыслить маленьких детей, они должны становиться исключительно знающими студентами». Теперь я вижу, как мы были наивны.

(2). Полное название курса: «Калькулюс II для Бизнеса и Экономики».

(3). Заметьте, что я не забегал вперед; я просто хотел заполнить пробелы в основных знаниях моих студентов. Именно это вызывало неприятности.

(4). Например, в книге есть глава о рядах Тейлора и несколько задач, где требуется разложить данною функцию в ряд Тейлора, но нет задач на свертывание данного ряда. Это то же, что учить разбирать мотор, но не учить его собирать.

(5). Типичная игра (в смысле Берна): «Это профанация — заставлять такого гения как я, тратить мое ценное время на преподавание».

(6 ). Один небольшой пример успешного решения практической задачи. Однажды моей дочери (ей было I2 лет) понадобился словарь, и мы пошли в книжный магазин. Она выбрала один, но не могла найти, где в нем указано количество слов. Тогда она выбрала страницу, выглядевшую типично, сосчитала количество слов, посмотрела номер последней страницы, округлила оба числа до первой цифры и перемножила в уме. Так за несколько секунд она получила адекватную оценку того, что ей было нужно. Я был восхищен. Это называется «математический здравый смысл». Какой контраст с моими студентами, беспомощными без калькуляторов и подробных указаний, что и в каком порядке делать!

Дополнения автора.

1. Калькулюс — это предмет, изучаемый в университетах (а иногда и школах) по всему миру. Когда мои бразильские студенты спрашивают меня, какая разница между калькулюсом и математическим анализом, отвечаю, что это одно и то же, только анализ — с пониманием, а калькулюс — без понимания. Бизнес-калькулюс настолько же хуже калькулюса, насколько калькулюс хуже анализа.

2. Статья «Русский учитель в Америке» издавалась 4 раза: сначала в Журнале Математического Поведения (Journal of Mathematical Behavior), 1993, том 12, N2, с. 117-139. Это издание самое полное. В сокращенных переизданиях в журналах Американский Образователь (American Educator), осень 1993, с. 9–25 и Фокус (Focus), 1996, том 16, N3, с. 9–11 и N4, с. 9–11; и в книге Дальние Зеркала: Америка как иностранная культура (Distant Mirrors: America as a Foreign Culture) Ed. by Philip R. DeVita and James D. Armstrong. 2-e izdanie. Wadsworth, 1998, str. 108–124. Я получил много писем от читателей, в основном одобрительных. Albert Shanker, ныне покойный, а тогда президент Американской Федерации Учителей, дал обзор моей статьи в его постоянной колонке «Как у нас дела» (Where We Stand) в Нью Йорк Таймс, 10.10.93, с. E7.

Rambler's Top100