Первый день

Один из 6 вариантов.

Найти образ вектора (1,0), приложенного в точке (p,0), под действием преобразования за время t = 1 фазового потока системы x' = y,   y' = sin x.

В каких координатах разделяются переменные в уравнении

dy dx

= xy2 + x3y3 ?

Имеет ли задача Коши

y

¶u ¶x

+ (x3 — x)

¶u ¶y

= y2,

u(0, y) = 0,

решение в окрестности точки (0, y₀) и единственно ли оно?

Устойчиво ли по Ляпунову решение системы

x' = yz,

y' = — xz,

z' = 0.

с начальным условием (x₀, y₀, z₀) ?

Второй день

Дана система (6 вариантов):

{

x' = y, y' = — x2.

{

x' = y3, y' = — x.

{

x' = y, y' = x4.

{

x' = — y2, y' = x2.

{

x' = y4, y' = — x.

{

x' = y2, y' = x2.

Найти положения равновесия и исследовать их устойчивость.

Все ли решения системы продолжаются неограниченно?

Сколько ненулевых решений, для которых y(0) = x(1) = 0, имеет система?

Найти производную решения с начальным условием x(0) = y(0) = a, по a при a = 0.

Третий день

Дана система (6 вариантов):

{

x' = x2y, y' = — xy2.

{

x' = — x2y2, y' = xy3.

{

x' = — x2y3, y' = xy4.

{

x' = — xy2, y' = x2y.

{

x' = xy3, y' = — x2y2.

{

x' = — xy4, y' = x2y3.

и 2. — как в предыдущий день.

Найти диффеоморфизм плоскости, выпрямляющий поле направлений фазовых кривых в окрестности точки (1,1).

Найти все непрерывные на всей плоскости первые интегралы, совпадающие с y на оси y.

Четвёртый день

Дана система (6 вариантов):

z' = i z2

,

z' = z2

,

z' = i z2 z

,

z' = z z2

,

z' = i z z2

,

z' = i z2

.

— как в предыдущие дни.

Найти все начальные условия, для которые решения продолжаются неограниченно вперёд.

Найти образ вектора (0,1), приложенного в точке 0, под действием преобразования фазового потока за время 1.

Найти все первые интегралы, непрерывные в окрестности точки z = 1 и равные 1 на вещественной оси.

Пятый день

Рассматривается задача (один из 6 вариантов):

x

¶u ¶x

— (1 + x4 + y2)

¶u ¶y

= 2u,

u(0, y) = 0.

Имеет ли задача определённое на всей плоскости неограниченное решение?

Ограничена ли величина u на характеристиках?

Все ли характеристики пересекают поверхность y = x + u²?

Имеет ли уравнение характеристик первый интеграл, производная которого по u в начале координат равна 1? Найти производную этой производной по u вдоль характеристического вектора.

Шестой день

Дано уравнение (6 вариантов):

x'' + x = sh3x. x'' + sin x = x3. x'' + x = 2x3.

x'' + x = sh3x/2. x'' + sin x = x3/2. x'' + x = x3/2.

Продолжается ли решение с начальным условием x(0) = 1, x'(0) = 0 на всю ось t?

Ограничена ли третья производная по a при a = 0 решения с начальным условием x(0) = a, x'(0) = 0?

Вычислить значение этой производной при t = 2p.

Вычислить десятую производную решения с начальным условием x(0) = a, x'(0) = 0 по a при a = 0.

Седьмой день

Дано уравнение (6 вариантов):

x' = x2 — sin2t. x' = sin2t — x2. x' = sh2x — sin2t.

x' = x2 — cos2t. x' = cos2t — x2. x' = sh2x — cos2t.

Найти третью производную решения с начальным условием x(0) = 0 в нуле.

Продолжается ли это уравнение на всю ось t?

Имеет ли уравнение неограниченные решения?

Найти число асимптотически устойчивых периодических решений уравнения.

Рассмотрим линейное уравнение

(1)	(at + a) d3y dt3  + pa d2y dt2   — (a — 1)t2 × tg t × y = ln e + t e — t

с дополнительными условиями

(2)	y(a) = 1,   y'(a) = A,   y''(a) = a;

здесь a, a, A — действительные параметры.

a) (2 балла) Укажите все значения параметров a, a, A, при которых теорема существования и единственности гарантирует однозначную разрешимость задачи Коши для дифференциального уравнения 3-го порядка (1) с начальными условиями (2).

b) (1 балл) Какова область определения непродолжаемого решения начальной задачи (1)-(2) в случае a = — 1, a = — 2, A = — 3?

c) (1 балл) Представьте начальную задачу (1)-(2) в форме задачи Коши для нормальной линейной системы дифференциальных уравнений.

Обозначим через (3) линейное однородное уравнение, соответствующее неоднородному уравнению (1) при значении a = — 1. Рассмотрим для этого уравнения (3) три задачи Коши соответственно с начальными условиями:

(4)	y(1) = 2,   y'(1) = 0,   y''(1) = 0;
(5)	y(1) = — 1,   y'(1) = 1,   y''(1) = — 1;
(6)	y(1) = 0,   y'(1) = 0,   y''(1) = — 2.

Пусть j₁(t), j₂(t), j₃(t), t Î I — непродолжаемые решения этих задач.

a) (1 балл) Укажите явно интервал I и докажите, что { j₁(t), j₂(t), j₃(t) } — фундаментальная система решений уравнения (3) на I.

b) (1 балл) Получите выражение для определителя Вронского решений j₁(t), j₂(t), j₃(t), справедливое на интервале I.

c) (2 балла) Запишите решение задачи Коши для уравнения (3) с начальными условиями y(1) = y₀,   y'(1) = y₁,   y''(1) = y₂ через функции j₁(t), j₂(t), j₃(t).

(3 балла) Имеется ли во множестве всех действительных решений уравнения

y''' + y = a cos t,

a = const > 0

периодическая функция?

(5 баллов) Вычислите основную матрицу e^tA для линейной однородной системы x' = Ax, (x Î R³) с постоянной матрицей

A =

(

— 2   1   3

1   — 2   — 3

— 2 2 5

)

.

(4 балла) Пусть K(t,t) — матрица Коши (фундаментальная матрица, нормированная в точке t) для линейной однородной системы x' = A(t)x, (x Î Rⁿ), где матрица A(t) непрерывна на R. Выразите производную ¶K(t,t)/¶t через матрицы A и K.

(3 балла) Известно, что функция u(t) Î C([0,¥]) удовлетворяет двойному неравенству

0 £ u(t) £

1 p

+

t ò 0

exp( — pt) u2(t) dt

при всех t Î [0,¥). Укажите оценку сверху для величины sup_[0,¥] u(t).

Может ли уравнение 3-го порядка x''' = f(t, x, x', x'') с непрерывно дифференцируемой правой частью f(t, x, u, v) иметь обе функции

x1 = 3 + sin t — 2cos t,    t Î R,
x2 = 1/(1 — t),	— 1 < t < ½,

среди своих решений? Ответ обоснуйте.

При каких (действительных) значениях параметра a тривиальное решение системы дифференциальных уравнений

{	x' = ax + y + (a + 1)x2,
	y' = x + ay

является

a) (1 балл) асимптотически устойчивым?

b) (2 балла) устойчивым по Ляпунову, но не асимптотически устойчивым?

c) (1 балл) неустойчивым?

Рассматривается фазовый портрет урaвнения x'' + 2dx' — x = 0 на фазовой плоскости (x, y = x').

a) (1 балл) Определите тип фазового портрета этого уравнения при каждом (действительном) значении параметра d.

b) (2 балла) Нарисуйте фазовые портреты указанного уравнения при d = — 1 и при d = 1.

c) (1 балл) Для исследуемого уравнения при d = 0 найдите положение равновесия на фазовой плоскости и выясните, будет ли оно асимптотически устойчивым, устойчивым по Ляпунову или неустойчивым (ответ обоснуйте). Сколько прямолинейных траекторий имеется в этом случае у фазового портрета?

a) (1 балл) Сформулируйте теорему о дифференцируемости решений системы дифференциальных уравнений по параметру.
b) (4 балла) Вычислите производную от решения x = j(t, l) задачи Коши

x'' + x = l sin t + lx2,

x(0) = 0,

x'(0) = 0

по параметру l при значении l = 0.

При каких постоянных a и b все решения системы

{	x' = 2y — 4x + a,
	y' = 2x — y + b

ограничены при t > 0 ?

a) Дать определение устойчивости по Ляпунову.
b) Для системы

{	x' = x — y,
	y' = 2x — y + 6sin2 t

найти решение с периодом p.
c) Устойчиво ли это решение?

Для уравнения x'' + 4x — 6x² = 0
a) найти траекторию на фазовой плоскости, проходящую через точку (1,0);
b) найти решение уравнения с начальными условиями x(0) = 1, x'(0) = 0.

Найти производную по параметру m при m = 0 от решения задачи

y' = mx +

1 2y

,

y(1) = 1 — 2m,

x > 0.

a) Сформулировать теорему о существовании решения задачи Коши для квазилинейного уравнения с частными производными.
b) Решить задачу Коши

xy

¶z ¶x

+ xz

¶z ¶y

= yz,

линия L:   x = 1,   z = 1 + y2.

В.И.Арнольд. Математический тривиум // УМН, 1991, т.46, N 1, с.225-232. назад к тексту

В.И.Арнольд. Математический тривиум-II // УМН, 1993, т.48, N 1, с.211-222. назад к тексту