Книга для учителя МЦНМО 2003



 Назад  | Оглавление | Продолжение 

Глава 1. Вычисления. Преобразование выражений
§ 1. Степень с натуральным, целым, рациональным показателем
Продолжение



1.3.B01

б) Упростите выражение
 x+6Цx+8

Цx+4
-
x+6
Ц
 

x-2
 
+6


Ц
 

x-2
 
+4

.

Решение. Перегруппируем слагаемые в числителях так, чтобы выделить полные квадраты: 
 x+6Цx+8

Цx+4
-
x+6
Ц
 

x-2
 
+6


Ц
 

x-2
 
+4
=  x+6Цx+9-1

Цx+3+1
-
x-2+6
Ц
 

x-2
 
+9-1


Ц
 

x-2
 
+3+1

.

Получаем 
 (Цx+3)2-1

Цx+3+1
-
ж
и

Ц
 

x-2
 
+3 ц
ш
2
 
-1


Ц
 

x-2
 
+3+1

.

Воспользуемся формулой разности квадратов и, сократив дроби, найдем 
Цx+3-1- ж
и

Ц
 

x-2
 
+3 ц
ш
+1=Цx-
Ц
 

x-2
 

.

Ответ:


Цx-
Ц
 

x-2
 

.

Заметим, что данное выражение можно упростить с помощью замены переменных. Пусть t=Цx. Тогда первая дробь примет вид 
 t2+6t+8

t+4
=  (t+4)(t+2)

t+4
=t+2

.

Аналогично сделаем замену во второй дроби. Пусть

Ц
 

x-2
 
=p

. Тогда x=p2+2, и вторая дробь принимает вид 
 p2+6p+8

p+4
=  (p+4)(p+2)

p+4
=p+2

.

Теперь находим разность t+2-(p+2)=t-p и, сделав обратную замену, получаем  
Цx-
Ц
 

x-2
 

.


1.3.C10

а) Упростите выражение
 5


Ц

x+5
-
Ц
 

x+5
 

 1


Ц

x-5
+  1


Ц

x+5
:

Ц

x+5

(x+5)
Ц

x-5
+(x-5)
Ц

x+5
-5x.

Решение. Упростим делимое: 
 5


Ц

x+5
-
Ц
 

x+5
 

 1


Ц

x-5
+  1


Ц

x+5
=  5-(x+5)


Ц

x+5


Ц

x-5
+1
=-  x


Ц

x+5
+
Ц

x-5


Ц

x-5
=-
x
Ц

x-5


Ц

x+5
+
Ц

x-5

.

Преобразуем делитель: 

Ц

x+5

(x+5)
Ц

x-5
+(x-5)
Ц

x+5
=

Ц

x+5


Ц
 

x+5
 

Ц
 

x-5
 
ж
и

Ц
 

x+5
 
+
Ц
 

x-5
 
ц
ш
=  1


Ц
 

x-5
 
ж
и

Ц
 

x+5
 
+
Ц
 

x-5
 
ц
ш

.

Следовательно, данное выражение равно
-
x
Ц

x-5


Ц

x+5
+
Ц

x-5

Ц
 

x-5
 
ж
и

Ц
 

x+5
 
+
Ц
 

x-5
 
ц
ш
-5x =-x
Ц
 

x-5
 

Ц
 

x-5
 
-5x=-x(x-5)-5x =-x2+5x-5x=-x2

.

Ответ:

-x2.

Решить пример можно и с помощью замены переменных. Пусть 
a=
Ц
 

x+5
 

,
b=
Ц
 

x-5
 

.

Тогда 
 5


Ц

x+5
-
Ц
 

x+5
 

 1


Ц

x-5
+  1


Ц

x+5
=
 5

a
-a

 1

b
+  1

a
=  (5-a2)b

a+b

.



Ц

x+5

(x+5)
Ц

x-5
+(x-5)
Ц

x+5
=  a

a2b+b2a
=  a

ab(a+b)
=  1

b(a+b)

.

Частное найденных дробей равно
 (5-a2)b

a+b
:  1

b(a+b)
=b2(5-a2).

Сделаем обратную замену: b2=x-5; 5-a2=5-(x+5)=-x. Получим b2(5-a2)=(x-5)(-x).

Окончательно, (x-5)(-x)-5x=-x2.

1.3.D10

б) Упростите выражение

Ц
 

9a2-6ab+b2
 
+ ж
и
 a

Цa+Цb
-Цa ц
ш
: ж
и
 -5bЦa

a+
Ц

ab
+5Цb ц
ш
и найдите его значение при a=1,1, b=4,62.

Решение.

Ц
 

9a2-6ab+b2
 
+ ж
и
 a

Цa+Цb
-Цa ц
ш
: ж
и
 -5bЦa

a+
Ц

ab
+5Цb ц
ш
=
Ц
 

(3a-b)2
 
+ ж
и
 a

Цa+Цb
-Цa ц
ш
: ж
и
 -5bЦa

a+
Ц

ab
+5Цb ц
ш
=|3a-b|+  a-a-ЦaЦb

Цa+Цb
:  -5bЦa+5aЦb+5bЦa

a+
Ц

ab
=|3a-b|-  ЦaЦb

Цa+Цb
:  5aЦb

a+
Ц

ab
=|3a-b|-  ЦaЦb

Цa+Цb
:  5ЦaЦb

Цa+Цb
=|3a-b|-  ЦaЦb

5ЦaЦb
=|3a-b|-0,2

.

При a=1,1;b=4,62 значение выражения равно 4,62-3,3-0,2 =1,12.

Ответ:

|3a-b|-0,2, 1,12.

Решение следующего примера основано на преобразовании, которое иногда называют "умножением на сопряженное выражение". Выражения Цa + Цb и Цa - Цb называются сопряженными. Их произведение, равное a-b, не содержит знаков корня. Также называют сопряженными выражения
3
Ц
 

a
 
-
3
Ц
 

b
 

и 
3
Ц
 

a2
 
+
3
Ц
 

ab
 
+
3
Ц
 

b2
 

,
3
Ц
 

a
 
+
3
Ц
 

b
 

и 
3
Ц
 

a2
 
-
3
Ц
 

ab
 
+
3
Ц
 

b2
 

. Произведение первой пары этих выражений равно a-b, произведение второй пары равно a+b. Ни одно из этих произведений не содержит знаков корня. Применение такого преобразования часто оказывается полезным в задачах на упрощение иррациональных выражений, в частности, при избавлении от иррациональности в знаменателе дроби. При этом числитель и знаменатель дроби умножают на выражение, сопряженное знаменателю. При таком преобразовании дробь не меняется, а в знаменателе остается выражение, не содержащее знаков корня. Аналогичным образом поступают, если нужно избавиться от иррациональности в числителе дроби. При этом числитель и знаменатель умножаются на выражение, сопряженное числителю.


 Назад  |  Оглавление  |  Продолжение 

Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.
Rambler's Top100