Книга для учителя	МЦНМО 2003

 Назад  | Оглавление | Продолжение 

Глава 1. Вычисления. Преобразование выражений
§ 1. Степень с натуральным, целым, рациональным показателем
Продолжение

Решение. Представим подкоренные выражения в виде квадратов суммы и разности: 

ж Ц

12-2 Ц 11

=

ж Ц

11-2 Ц   11   +1

=

ж Ц

ж и Ц   11   -1 ц ш 2

=

Ц

11

-1

;

ж Ц

12+2 Ц 11

=

ж Ц

11+2 Ц   11   +1

=

ж Ц

ж и Ц   11   +1 ц ш 2

=

Ц

11

+1

;

Ц

17-12Ц2

=

Ц

9-2·3Ц8+8

=

Ц

(3-Ц8)2

=3-2Ц2

;

Ц

17+12Ц2

=

Ц

9+2·3Ц8+8

=

Ц

(3+Ц8)2

=3+2Ц2

. Следовательно, 

ж Ц 12-2 Ц 11   Ц 17-12Ц2

-

ж Ц 12+2 Ц 11   Ц 17+12Ц2

=

Ц   11   -1 3-2Ц2

-

Ц   11   +1 3+2Ц2

=

=

ж и Ц   11   -1 ц ш (3-2Ц2)- ж и Ц   11   +1 ц ш (3+2Ц2) (3-2Ц2)(3+2Ц2)

=

=

ж и Ц   11   -1 ц ш (3-2Ц2)- ж и Ц   11   +1 ц ш (3+2Ц2) 9-8

=

ж и

Ц

11

-1

ц ш

(3-2Ц2)-

ж и

Ц

11

+1

ц ш

(3+2Ц2)

.

Раскроем скобки и приведем подобные члены :

3

Ц

11

-3+2

Ц

22

-2Ц2-3

Ц

11

-3+2

Ц

22

+2Ц2=4

Ц

22

-6

.

Ответ:

4

Ц

22

-6

.

Решение. p=(9x-2y)²+9x-2y+5=3²+3+5=17.

Ответ:

17.

Решение. Найдем такие числа a и b, что a(2x-y-5z)+b(4x+2y+3z)=6x+5y+11z. Приравнивая в этом тождестве коэффициенты слева и справа при x, а затем при y и z, получим систему

м п п н п п о 2a+4b=6, -a+2b=5, -5a+3b=11.

Решая систему двух первых уравнений, получим a=-1, b=2. Найденная пара чисел является решением и третьего уравнения системы.

Тогда 6x+5y+11z=a·1+b·3=-1·1+2·3=5.

Ответ:

5.

Решение. Выразим p через x-y и xy: p=(5x+2y)y+(5y+2x)x=5xy+2y²+5yx+2x²=10xy+2(x²+y²).

Преобразуем сумму квадратов: x²+y²=x²-2xy+y²+2xy=(x-y)²+2xy.

Следовательно, p=10xy+2(x²+y²) =10xy+2((x-y)²+2xy)=14xy+2(x-y)².

Тогда p=14·(-12)+2·9²=-6.

Ответ:

-6.

Решение. Выразим p через xy и x+y: p=(3+2x)²y+(3+2y)²x=(9+12x+4x²)y+(9+12y+(-2)²y²)x=9x+9y+12xy+12xy+4x²y+4y²x=9(x+y)+24xy+4xy(x+y).

Следовательно, p=9·(-5)+24·5+4·5·(-5)=-25.

Ответ:

-25.

Решение. Выразим p через x+y и xy: p=(3-2x²)²y+(3-2y²)²x=(9-12x²+4x⁴)y+(9-12y²+4y⁴)x =9y-12x²y+4x⁴y+9x-12xy²+4xy⁴=9(x+y)-12xy(x+y)+4xy(x³+y³)=9(x+y)-12xy(x+y)+4xy(x+y)(x²-xy+y²)=9(x+y)-12xy(x+y)+4xy((x+y)²-3xy)

Следовательно, p=9·4-12·2·4+4·2·4(4²-3·2)=260.

Ответ:

260.

Решение.Пусть x^-1=u, y^-1=v. Требуется найти 

v u

. Из равенства 

u-3v u-v

=

1 4

по свойству пропорций получаем 4u-12v=u-v или 3u=11v. Тогда 

v u

=

3 11

.

Ответ:

3 11

.

Решение.

ж и

36b a2+ab

+

12 a+b

+

a b2+ab

ц ш

:

ж и

6b a

+2+

a 6b

ц ш

=

36b2+12ab+a2 ab(a+b)

:

36b2+12ab+a2 6ab

=

6ab ab(a+b)

=

6 a+b

.

Если a+b=3, то значение выражения равно 2.

Ответ:

6 a+b

, 2.

Решение.

ж и 5m+8n-  160mn 5m+8n ц ш : ж и  5m 5m+8n -  8n 8n-5m -  80mn 25m2-64n2 ц ш =

=  (5m+8n)2-160mn 5m+8n :  5m(5m-8n)+8n(5m+8n)-80mn 25m2-64n2 =

=  25m2+80mn+64n2-160mn 5m+8n :  25m2-40mn+64n2+40mn-80mn 25m2-64n2 =

=

25m2-80mn+64n2 5m+8n

:

25m2+64n2-80mn 25m2-64n2

=

25m2-64n2 5m+8n

=5m-8n

.

Если 5m-8n=-3, то значение выражения равно -3.

Ответ:

5m-8n, -3.

Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби

x2+3xy+11y2 xy+2y2

на y²: 

ж и  x y ц ш 2   +3·  x y +11  x y +2

=5

.

Сделаем замену переменной. Пусть 

t=

x y

. Из условия следует, что 

t2+3t+11 t+2

=5

, откуда

м п н п о t2+3t+11=5t+10, t+2 № 0 Ы м п н п о t2-2t+1=0, t+2 № 0 Ы м п н п о (t-1)2=0, t № -2 Ы t=1.

Выразим через t дробь 

x3-2xy2-3x2y+7y3 x3-2y3

.

Числитель и знаменатель дроби разделим на y³:

ж и  x y ц ш 3   -2 ж и  x y ц ш -3 ж и  x y ц ш 2   +7 ж и  x y ц ш 3   -2

=

t3-2t-3t2+7 t3-2

.

При t=1 выражение 

t3-2t-3t2+7 t3-2

равно -3.

Ответ:

-3. 

 Назад  |  Оглавление  |  Продолжение 

Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия

Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru. Заказ книги: biblio@mccme.ru.