Книга для учителя МЦНМО 2003


 Назад  | Оглавление | Продолжение 

Глава 1. Вычисления. Преобразование выражений
§ 2. Тригонометрические выражения
Окончание



1.4.D01

а) Найдите sin6a+cos6a, если 
sina+cosa = -  1

2

.

Решение. Преобразуем выражение sin6a+cos6a, понижая степень:
sin6a+cos6a = (sin2a+cos2a)(sin4a-sin2acos2a+cos4a)=(sin2a+cos2a)2-3sin2acos2a = 1-  3

4
sin22a

.

Далее, 
sina+cosa = -  1

2
Ю (sina+cosa)2=  1

4
Ю 1+sin2a =  1

4
Ю sin2a = -  3

4

.

Следовательно, 
sin6a+cos6a = 1-  3

4
ж
и
 3

4
ц
ш
2
 
=  37

64

.

Ответ:


 37

64

.


1.4.D03

б) Найдите 
ctg
x

, если 
 2cos2x+sin2x

cos2x-2sin2x
=2

.

Решение. Применим формулы двойного аргумента:
 2cos2x+sin2x

cos2x-2sin2x
=  2cos2x+2sinxcosx

cos2x-sin2x-2sin2x
=  2cos2x+2sinxcosx

cos2x-3sin2x

.

Разделив числитель и знаменатель последней дроби на sin2x, получим 
2 2
ctg
 
x+2 ctg
x

2
ctg
 
x-3

.

Из соотношения 
2 2
ctg
 
x+2 ctg
x

2
ctg
 
x-3
=2

найдем 
ctg
x

:
2 2
ctg
 
x+2 ctg
x

2
ctg
 
x-3
=2Ю 2 2
ctg
 
x+2 ctg
x=2 ж
и
2
ctg
 
x-3 ц
ш
Ю 2 ctg
x=-6 Ю ctg
x=-3

.

Ответ:

-3.


1.4.D05

а) Найдите cos(3(x+y)), если
cos(2x+y)+cos(x+2y)=  1

2

, sin(2x+y)-sin(x+2y)=1.

Решение. Возведем в квадрат обе части первого равенства:
cos2(2x+y)+2cos(2x+y)cos(x+2y)+cos2(x+2y)=  1

4

. Возведем в квадрат обе части второго равенства: sin2(2x+y)-2sin(2x+y)sin(x+2y)+sin2(x+2y)=1.

Сложим полученные равенства, воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством и формулой косинуса суммы: 
2+2cos(2x+y+x+2y)=  5

4
Ы 2cos(2(x+y)+x+y)=-  3

4

Ы
cos(3(x+y))=-  3

8

.

Ответ:


-  3

8

.


1.4.D12

а) Найдите sin4a+cos4a, если 
sina-cosa =  1

2

.

Решение. Преобразуем выражение sin4a+cos4a, понижая степень: 
sin4a+cos4a = (sin2a+cos2a)2-2sin2acos2a = 1-  1

2
sin22a

.

Далее, из условия находим
(sina-cosa)2=1-sin2a =  1

4
Ю sin2a =  3

4

.

Следовательно, 
sin4a+cos4a = 1-  1

2
ж
и
 3

4
ц
ш
2
 
=  23

32

.

Ответ:


 23

32

.

Теперь рассмотрим несколько задач на упрощение тригонометрических выражений и вычисление их значений.


1.4.B04

а) Найдите значение выражения
 sin335° -cos335°

sin35° -cos35°
-  sin235° +cos235°

tan35° + ctg
35°
.

Решение.
 sin335° -cos335°

sin35° -cos35°
-  sin235° +cos235°

tan35° + ctg
35°
=  (sin35° -cos35° )(sin235° +sin35° cos35° +cos235° )

sin35° -cos35°
-  1

tan35° + ctg
35°
=sin235° +sin35° cos35° +cos235° -  1

 sin35°

cos35°
+  cos35°

sin35°
=1+sin35° cos35° -  1

 sin235° +cos235°

cos35° sin35°
=1+sin35° cos35° -  cos35° sin35°

sin235° +cos235°
=1+sin35° cos35° -cos35° sin35° = 1

.

Ответ:

1.


1.4.C04

б) Упростите выражение
-  cos(a-2b)-cos(a+2b)

cos(a-2b)+cos(a+2b)
+tanatan2b.

Решение.
-  cos(a-2b)-cos(a+2b)

cos(a-2b)+cos(a+2b)
=-  sin2bsina

cosacos2b
=-tanatan2b

.

Следовательно, 
-  cos(a-2b)-cos(a+2b)

cos(a-2b)+cos(a+2b)
+tanatan2b = 0

.

Ответ:

0.


1.4.C10

а) Упростите выражение
9 ctg
a+2tana+6tan3a+3 ctg
3a

3 ctg
a+2tan3a
-  tana+3tan3a

tan3a
.

Решение.
9 ctg
a+2tana+6tan3a+3 ctg
3a

3 ctg
a+2tan3a
-  tana+3tan3a

tan3a
=
3 ж
и
3 ctg
a+2tan3a ц
ш
+2tana+3 ctg
3a

3 ctg
a+2tan3a
-  tana+3tan3a

tan3a
=3+
2tana+3 ctg
3a

3 ctg
a+2tan3a
-  tana

tan3a
-3=
2tana+3 ctg
3a

3 ctg
a+2tan3a
-  tana

tan3a
=


=
2tanatan3a+3 ctg
3atan3a-3 ctg
atana-2tan3atana

ж
и
3 ctg
a+2tan3a ц
ш
tan3a
=

=
3 ctg
3atan3a-3 ctg
atana

ж
и
3 ctg
a+2tan3a ц
ш
tan3a
=  3-3

ж
и
3 ctg
a+2tan3a ц
ш
tan3a
=0

.

Ответ:

0.


1.4.D04

б) Найдите значение выражения
cos4  p

8
+cos4  5p

8
+cos4  3p

8
+cos4  9p

8
.

Решение. Воспользуемся формулами приведения и преобразуем каждое слагаемое, кроме первого, заменив аргументы на другие, принадлежащие отрезку 
й
л
0;  p

2
щ
ы

. Тогда сумма примет вид 
cos4  p

8
+sin4  p

8
+sin4  p

8
+cos4  p

8
=2 ж
и
sin4  p

8
+cos4  p

8
ц
ш
=2 ж
и
ж
и
sin2  p

8
+cos2  p

8
ц
ш
2
 
-2sin2  p

8
cos2  p

8
ц
ш
=2 ж
и
1-2sin2  p

8
cos2  p

8
ц
ш
=2 ж
и
1-  1

2
sin2  p

4
ц
ш
=2 ж
и
1-  1

2
·  1

2
ц
ш
=  3

2

.

Ответ:


 3

2

.

 Назад  |  Оглавление  |  Продолжение 

Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.
Rambler's Top100