Книга для учителя МЦНМО 2003


 Назад  | Оглавление | § 3 

Глава 1. Вычисления. Преобразование выражений
§ 2. Тригонометрические выражения
Продолжение


Следующие задачи связаны со сравнением значений двух тригонометрических выражений или сравнением значения тригонометрического выражения с нулем.


1.4.A04

б) Найдите знак числа 
tan  46p

5
tan ж
и
-  136p

7
ц
ш

.

Решение. Воспользуемся формулами приведения и заменим углы 
 46p

5

и 
-  136p

7

соответственно углами первой четверти.


tan  46p

5
=tan ж
и
9p+  p

5
ц
ш
=tan  p

5
> 0


tan ж
и
-  136p

7
ц
ш
=-tan ж
и
19p+  3p

7
ц
ш
=-tan  3p

7
< 0

Ответ:


tan  46p

5
tan ж
и
-  136p

7
ц
ш
< 0

.

Следующая задача интересна тем, что для ее решения нет необходимости использовать формулу преобразования произведения двух тригонометрических функций в сумму (хотя она может быть решена и с использованием этой формулы).


1.4.B08

а) Сравните числа cos14° cos74° и 
 1

2

.

Решение. 0 < cos74° < cos60°; 0 < cos14° < 1. Следовательно, cos14° cos74° < cos60°, т. е.
cos14° cos74° <  1

2

.

Ответ:


cos14° cos74° <  1

2

.


1.4.B09

б) Сравните числа
sin26° +cos29° и cos26° +sin29°.

Решение. Составим разность данных чисел: 
sin26° +cos29°-cos26° -sin29°=cos29° -sin29° - ж
и
cos26° -sin26° ц
ш
=cos18° -cos12°

. Так как cos18° < cos12° , то разность меньше нуля. Поэтому sin26° +cos29° < cos26° +sin29° .

Ответ:

sin26° +cos29° < cos26° +sin29°.

Заметим, что ответ можно получить иначе, воспользовавшись тем, что sin26° < sin29°, cos29° < cos26°.


1.4.C01

б) Сравните числа
 sin256°

16sin16°
  и  cos16° cos32° cos64° cos128°.

Решение. Составим разность данных чисел:
 sin256°

16sin16°
-cos16° cos32° cos64° cos128°\fbrb =  sin256° -16sin16° cos16° cos32° cos64° cos128°

16sin16°
=  sin256° -8sin32° cos32° cos64° cos128°

16sin16°
=  sin256° -4sin64° cos64° cos128°

16sin16°
=  sin256° -2sin128° cos128°

16sin16°
=  sin256° -sin256°

16sin16°
=0

.

Ответ:

данные числа равны.


1.4.C02

а) Сравните числа 
 sin12° +sin10°

sin12° -sin10°

и 
 tan11°

tan1°

.

Решение.
 sin12° +sin10°

sin12° -sin10°
=  2sin11° cos1°

2sin1° cos11°
=  tan11°

tan1°

.

Ответ:

данные числа равны.


1.4.C12

б) Сравните 
sin23 ж
и
tan  4p

11
ц
ш
+cos9 ж
и
tan  4p

11
ц
ш

и 1,04.

Решение. Из неравенства 
-1 Ј sin ж
и
tan  4p

11
ц
ш
Ј 1

следует, что
sin23 ж
и
tan  4p

11
ц
ш
Ј sin2 ж
и
tan  4p

11
ц
ш

.

Из неравенства 
-1 Ј cos ж
и
tan  4p

11
ц
ш
Ј 1

следует, что
cos9 ж
и
tan  4p

11
ц
ш
Ј cos2 ж
и
tan  4p

11
ц
ш

.

Поэтому, 
sin23 ж
и
tan  4p

11
ц
ш
+cos9 ж
и
tan  4p

11
ц
ш
Ј sin2 ж
и
tan  4p

11
ц
ш
+cos2 ж
и
tan  4p

11
ц
ш

, т. е. 
sin23 ж
и
tan  4p

11
ц
ш
+cos9 ж
и
tan  4p

11
ц
ш
Ј 1

.

Значит, 
sin23 ж
и
tan  4p

11
ц
ш
+cos9 ж
и
tan  4p

11
ц
ш
< 1,04

.

Ответ:


sin23 ж
и
tan  4p

11
ц
ш
+cos9 ж
и
tan  4p

11
ц
ш
< 1,04

.

Завершим обзор задач на преобразование тригонометрических выражений и вычисление их значений двумя упражнениями, при решении которых используются свойства арифметической и геометрической прогрессий.


1.4.D08

а) Найдите tan70x, если числа sin2x, sin7x, sin12x являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии (в указанном порядке).

Решение. Из условия задачи следует соотношение 2sin7x=sin2x+sin12x. Преобразуем полученное равенство:


2sin7x=sin2x+sin12x Ы 2sin7x=2sin7xcos5x Ы 2sin7x(1-cos5x)=0 Ы й
к
к
к
л
sin7x=0,
cos5x=1.

Поэтому
й
к
к
к
л
7x=pn,
5x=2pn,n О Z,
откуда й
к
к
к
л
70x=10pn,
70x=28pn,n О Z.

Следовательно, tan70x=0.

Ответ:

0.


1.4.D10

б) Найдите tan20x, если числа sin4x, sin8x, sin12x являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии (в указанном порядке).

Решение. Из условия задачи следует соотношение
sin28x=sin4xsin12x.

Преобразуем полученное равенство: sin28x=sin4xsin12x Ы
 1-cos16x

2
=  1

2
(cos8x-cos16x)

Ы cos8x=1.

Следовательно, 8x=2pn,n О Z. Значит, 4x=pn,n О Z.

Поэтому tan20x=tan5pn=0.

Ответ:

0.

 Назад  |  Оглавление  |  § 3 

Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.
Rambler's Top100