Книга для учителя МЦНМО 2003

 Назад  | Оглавление | § 2 

Глава 2. Уравнения и системы уравнений
§ 1. Целые алгебраические уравнения
Окончание


2.1.D04

б) Решите уравнение
|x2-12x+32|=x2-12x+32.

Решение. Данное уравнение равносильно неравенствуx2-12x+32 і 0, откуда
й
к
к
к
л
x Ј 4,
x і 8.

Ответ:


(4;+Ґ]И[8;+Ґ).

К следующей группе задач относятся задания, связанные с функциональной символикой и сводящиеся к решению уравнений.


2.1.B05

a) Дана функция p (x)=5x-4. Решите уравнение p2(x)=16p (x).

Решение.
p2(x)=16p (x) Ы p (x)(p (x)-16)=0 Ы й
к
к
к
л
p (x)=0,
p (x)-16=0.

Подставим p (x)=5x-4 в полученную совокупность:
й
к
к
к
л
5x-4=0,
5x-4-16=0
 Ы й
к
к
к
к
к
л
x=  4
5
 ,
x=4.

Ответ:


4;  4
5

.


2.1.C10

б) Дана функция p (x)=2x-3. Решите уравнение p (p (x2))=-9x.

Решение. Поскольку p (x2)=2x2-3, уравнение можно записать в виде 2(2x2-3)-3=-9x, и, далее,
4x2+9x-9=0 Ы й
к
к
к
к
к
л
x=-3,
x=  3
4
 .

Ответ:


-3;  3
4

.


2.1.D11

a) Дана функция h (x)=3x2+4x-1. Решите уравнение h (h (x)+1)=63.

Решение. Из условия следует, что h (x)+1=3x2+4x. Обозначим это выражение через y.

Уравнение принимает вид 3y2+4y-64=0.

Его корни:
й
к
к
к
к
к
л
y=4,
y=-  16
3
 .

Сделаем обратную замену:
й
к
к
к
к
к
л
3x2+4x=4,
3x2+4x=-  16
3
Ы й
к
к
к
к
к
л
3x2+4x-4=0,
3x2+4x+  16
3
 =0.

Решив первое уравнение, найдем
й
к
к
к
к
к
л
x=-2,
x=  2
3
 .

Дискриминант второго уравнения совокупности отрицателен, поэтому оно не имеет решений.

Ответ:


-2;  2
3

.

Перейдем к рассмотрению уравнений, которые можно решить заменой переменной (подстановкой).


2.1.C02

a) Решите уравнение
(x2+5x+1)2+2x2+10x=1.

Решение. Сделаем замену переменной. Пусть y=x2+5x+1. Уравнение принимает вид
y2+2(y-1)=1 Ы y2+2y-3=0 Ы й
к
к
к
л
y=1,
y=-3.

Сделаем обратную замену:
й
к
к
к
л
x2+5x+1=1,
x2+5x+1=-3
 Ы й
к
к
к
л
x2+5x=0,
x2+5x+4=0.

Решим первое уравнение совокупности:
x2+5x=0 Ы й
к
к
к
л
x=0,
x=-5.

Решим второе уравнение. Согласно теореме, обратной теореме Виета, сумма корней трехчлена x2+5x+4=0 равна -5, а их произведение равно 4. Корнями являются числа -4;-1.

Ответ:

-5;-4;-1;0.


2.1.D03

б) Решите уравнение |x2+10x|=x2+10x+18.

Решение. Сделаем замену переменной. Пусть y=x2+10x. Уравнение принимает вид |y|=y+18.

Полученное уравнение равносильно системе
м
п
н
п
о
[***{
y=y+18,
y=-y-18,
y+18 і 0.

Первое уравнение совокупности не имеет решений.

Решим второе уравнение совокупности:
y=-y-18 Ы 2y=-18 Ы y=-9.

Сделаем обратную замену:
x2+10x=-9 Ы x2+10x+9=0 Ы й
к
к
к
л
x=-1,
x=-9.

Ответ:

-1;-9.

Заметим, что приведенная классификация, естественно, весьма условна. Как правило, одно и то же уравнение можно решить несколькими способами. Время, отводимое на решение экзаменационного варианта, в принципе, позволяет выпускнику выбрать один из оптимальных способов решения, однако считать громоздкое, но математически верное решение недочетом не следует.

Завершают обзор задач системы целых алгебраических уравнений. Напомним основные определения.

Рассмотрим уравнения
f(x; y) = 0 и  g(x; y) = 0,     (1)
Говорят, что дана система
м
п
п
н
п
п
о
l f(x;y) = 0,
g(x;y) = 0.
    (2)
двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными x и y, если требуется найти все пары чисел (x0 ;y0 ), каждая из которых является решением каждого из уравнений (1).

Пара чисел (x0 ;y0 ) называется решением системы уравнений (2), если одновременно справедливы два числовых равенства f(x0 ;y0 ) = 0 и g(x0 ;y0 ) = 0.

Решить систему уравнений (2) – значит найти множество всех ее решений (если это множество является пустым, то говорят, что система не имеет решений).

Системы трех и более уравнений с тремя и более неизвестными определяются аналогично. Заменив слово "уравнение" словом "неравенство", получим определение системы неравенств.

Обратим внимание на то, что в смысле данных определений запись
м
п
п
н
п
п
о
l x2 Ј 4,
(x + 3)(x - 1) Ј 0
Ы м
п
п
н
п
п
о
l x О [ - 2;  2 ],
x О [ - 3;  1 ]
едва ли можно считать корректной.

Прежде чем переходить к решению упражнений, укажем некоторые основные равносильные преобразования систем уравнений:

Заметим, что почленное умножение двух уравнений системы с последующей заменой одного из них на уравнение, полученное в результате умножения, может привести к приобретению посторонних решений. В этом случае следует сделать проверку найденных решений путем их подстановки в исходную систему. Кроме того, преобразования уравнений системы (в частности, приведение подобных) не должны изменять области допустимых значений переменных. Сужение области допустимых значений может привести к потере решений, расширение области допустимых значений – к приобретению посторонних решений.


2.1.B08

б) Решите систему уравнений
м
п
н
п
о
xy2=-75,
x2y=45.

Решение. Из любого уравнения системы следует, что y № 0. Выразим x из первого уравнения: 
x=-  75
y2

.

Подставим полученное выражение во второе уравнение:

 5625
y4
 y=45

Ы y3=125 Ы y=5.

Следовательно,
x=-  75
52

; x=-3.

Ответ:

(-3;5).


2.1.C04

a) Решите систему уравнений
м
п
н
п
о
(x-3)4(y-5)5=1,
(x-3)5(y-5)4=1.

Решение. Разделим почленно первое уравнение на второе:
 y-5
x-3
 =1 Ы м
п
н
п
о
y-5=x-3,
y-5 № 0.

Подставив x-3 вместо y-5 в какое#нибудь из уравнений системы, получим
(x-3)9=1 Ы x-3=1.

Данная система равносильна системе
м
п
н
п
о
x-3=1,
y-5=1,
откуда
м
п
н
п
о
x=4,
y=6.

Ответ:

(4;6).


2.1.D06

б) Решите систему уравнений
м
п
н
п
о
(x+y)2+4(x+y)=5,
(x-y)2+6(x-y)=-9.

Решение. Сделаем замену переменных. Пусть u=x+y; v=x-y. Система принимает вид
м
п
н
п
о
u2+4u=5,
v2+6v=-9.

Решив первое уравнение, найдем
й
к
к
к
л
u=-5,
u=1.

Решим второе уравнение: v2+6v+9=0 Ы (v+3)2=0 Ы v=-3.

Таким образом, данная система равносильна совокупности двух систем:
1.  м
п
н
п
о
x+y=-5,
x-y=-3
и
2.  м
п
н
п
о
x+y=1,
x-y=-3.

Решив первую из полученных систем, найдем
м
п
н
п
о
x=-4,
y=-1.

Решив вторую систему, получим
м
п
н
п
о
x=-1,
y=2.

Ответ:

(-4;-1);(-1;2).


2.1.D07

a) Решите систему уравнений
м
п
н
п
о
|x|-3|y|=2,
x+3|y|=8.

Решение. Сложив уравнения данной системы, исключим переменную y: |x|+x=10.

Если x < 0, то уравнение принимает вид -x+x=10. Полученное уравнение не имеет решений.

Если x і 0, то |x|+x=10 Ы x+x=10 Ы x=5.

Из первого уравнения системы
5-3|y|=2 Ы |y|=1 Ы й
к
к
к
л
y=1,
y=-1.

Ответ:

(5;1);(5;-1).


2.1.D12

б) Решите систему уравнений
м
п
н
п
о
x2+y2+2x+4y=-5,
(x+1)2+(y+2)2=x+3y+7.

Решение. Данная система равносильна системе
м
п
н
п
о
x2+2x+1+y2+4y+4=0,
(x+1)2+(y+2)2=x+1+3y+6,
откуда
м
п
н
п
о
(x+1)2+(y+2)2=0,
(x+1)2+(y+2)2=x+1+3(y+2).

Из первого уравнения следует
м
п
н
п
о
x+1=0,
y+2=0.

При этом второе уравнение обращается в верное равенство. Значит, данная система равносильна системе
м
п
н
п
о
x=-1,
y=-2.

Ответ:


(-1;-2).

 Назад  |  Оглавление  |  § 2 
Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100