Книга для учителя МЦНМО 2003

 Назад  | Оглавление | Продолжение 

Глава 2. Уравнения и системы уравнений
§ 2. Рациональные уравнения
Продолжение


2.2.B10

б) Найдите все значения x из интервала (4;5), при которых верно равенство 
 13-2x
5-x
 =  6+x
4+2x

.

Решение. Уравнение 
 13-2x
5-x
 =  6+x
4+2x

равносильно системе
м
п
п
н
п
п
о
(13-2x)(4+2x)=(6+x)(5-x),
4+2x № 0,
5-x № 0
Ы м
п
п
н
п
п
о
3x2-10x-13=0,
x № -2,
x № 5.

Решив систему, найдем
й
к
к
к
к
к
л
x=-1,
x=  13
3
 .

Данному интервалу принадлежит корень 
x=  13
3

.

Ответ:


 13
3

.


2.2.C09

a) Найдите отрицательный корень уравнения f (g (x))+g (f (x))=0, если 
f (x)=  x-3
x-1

, g (x)=-x-1.

Решение. Выразим в явном виде слагаемые в левой части уравнения:
f (g (x))=
-  1
x
 -3
-  1
x
 -1
 =  1+3x
1+x
     (x № 0);

g (f (x))=  1-x
x-3
     (x № 1).

Уравнение принимает вид 
 1+3x
1+x
 +  1-x
x-3
 =0

.

Приведем левую часть к общему знаменателю:
 1+3x
1+x
 +  1-x
x-3
 =0 Ы  (1+3x)(x-3)+(1-x)(1+x)
(1+x)(x-3)
 =0Ы  2x2-8x-2
(1+x)(x-3)
 =0.

Перейдем к равносильной системе
м
п
п
н
п
п
о
2x2-8x-2=0,
x+1 № 0,
x-3 № 0
Ы м
п
п
н
п
п
о
x2-4x-1=0,
x+1 № 0,
x-3 № 0
Ы й
к
к
к
л
x=2-Ц5,
x=2+Ц5.

Отрицательный корень равен 2-Ц5.

Ответ:

2-Ц5.


2.2.C11

б) Найдите ординаты всех общих точек графиков функций 
f (x)=  3x-1
|x+4|

и 
g (x)=1-  1
3x

.

Решение. Составим уравнение по условию задачи и решим его:
 3x-1
|x+4|
 =1-  1
3x
 Ы  3x-1
|x+4|
 =  3x-1
3x
 Ы(3x-1)(  1
|x+4|
 -  1
3x
 )=0.

Первый множитель равен нулю, если 
x=  1
3

.

Уравнение при этом обращается в верное равенство. Решим уравнение
 1
|x+4|
 -  1
3x
 =0

.
 1
|x+4|
 -  1
3x
 =0 Ы |x+4|=3x.

Если x > -4, то уравнение принимает вид x+4=3x, откуда x=2. Условие x > -4 при этом выполняется.

Если x < -4, то уравнение принимает вид -x-4=3x, откуда x=-1. Условие x < -4 не выполняется.

Найдем ординаты точек.

Если 
x=  1
3

, то g (x)=0; если x=2, то 
g (x)=  5
6

.

Ответ:


0;  5
6

.

Заметим, что уравнение вида
 1
u(x)
 =  1
v(x)

равносильно одной из систем:
м
п
н
п
о
u(x)=v(x),
u(x) № 0,
или
м
п
н
п
о
u(x)=v(x),
v(x) № 0.
Иногда пишут, что это уравнение равносильно системе
м
п
п
н
п
п
о
u(x)=v(x),
u(x) № 0,
v(x) № 0,
однако одно из двух неравенств системы является избыточным. В самом деле, если число x0 — решение системы, то u(x0) № 0 и v(x0)=u(x0). Следовательно, v(x0) № 0. Более того, в некоторых случаях уравнение
 1
u(x)
 =  1
v(x)

равносильно уравнению u(x)=v(x) (как в рассмотренном выше примере). Действительно, если |x+4|=3x, то, очевидно, x № 0 и x № -4. Поэтому
 1
|x+4|
 =  1
3x
 Ы |x+4|=3x

.

Следующие два уравнения решаются разложением на множители.


2.2.D08

a) Решите уравнение 
 x2
x+4
 +  3x
x2-4
 -4=0

.

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению
 x2
x+4
 -1+3 ж
и 		 x
x2-4
 -1 ц
ш 		=0 Ы  x2-x-4
x+4
 -3·  x2-x-4
x2-4
 =0 Ы(x2-x-4) ж
и 		 1
x+4
 -  3
x2-4
 ц
ш 		=0 Ы й
к
к
к
к
к
л
x2-x-4=0,
 1
x+4
 -  3
x2-4
 =0
 Ы й
к
к
к
к
к
л
x2-x-4=0,
 x2-4-3(x+4)
(x+4)(x2-4)
 =0

Выражение 
 x2-4-3(x+4)
(x+4)(x2-4)

имеет смысл при
м
п
п
н
п
п
о
x № -4,
x № 2,
x № -2.

Решив первое уравнение полученной совокупности, найдем
й
к
к
к
к
к
к
к
л
x=  1-Ц{17}
2
 ,
x=  1+Ц{17}
2
 .

Решим второе уравнение.

На множестве допустимых значений x уравнение
 x2-4-3(x+4)
(x+4)(x2-4)
 =0

равносильно уравнению x2-4-3(x+4)=0 Ы x2-3x-16=0.

Корни уравнения:
й
к
к
к
к
к
к
к
л
x=  3-Ц{73}
2
 ,
x=  3+Ц{73}
2
 .
Все полученные значения удовлетворяют условиям
м
п
н
п
о
x № -4,
x № ±2.

Ответ:


3-
Ц
73
2
 ;
3+
Ц
73
2
 ;
1-
Ц
17
2
 ;
1+
Ц
17
2

.
 Назад  |  Оглавление  |  Продолжение 
Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100