Книга для учителя МЦНМО 2003


 Назад  | Оглавление | Продолжение 

Глава 2. Уравнения и системы уравнений
§ 4. Тригонометрические уравнения
Продолжение



2.4.C03

б) Решите уравнение 
sin ж
и
x-  2p

3
ц
ш
=cos ж
и
3x+  6p

5
ц
ш

.

Решение. Воспользуемся формулой приведения:
sin ж
и
x-  2p

3
ц
ш
=cos ж
и
 p

2
- ж
и
x-  2p

3
ц
ш
ц
ш
=cos ж
и
 7p

6
-x ц
ш

.

Уравнение принимает вид
cos ж
и
 7p

6
-x ц
ш
=cos ж
и
3x+  6p

5
ц
ш

.

Полученное уравнение равносильно совокупности
й
к
к
к
к
к
к
к
л
 7p

6
-x=3x+  6p

5
+2pk,
 7p

6
-x=-  6p

5
-3x+2pk,k О Z
Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
4x=  7p

6
-  6p

5
+2pk,
2x=-  6p

5
-  7p

6
+2pk,k О Z
Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
x=-  p

120
+  pk

2
,
x=-  71p

60
+pk,k О Z.

Ответ:


-  p

120
+  pk

2
;-  71p

60
+pk;k О Z

.


2.4.D05

a) Решите уравнение
sin2x+sin25x+sin27x+sin211x=2.

Решение. Применим ко всем слагаемым формулу понижения степени.
 1-cos2x

2
+  1-cos10x

2
+  1-cos14x

2
+  1-cos22x

2
=2

Ы cos2x+cos10x+cos14x+cos22x=0.

Сгруппировав два крайних и два средних слагаемых, воспользуемся формулой суммы косинусов:
2cos12xcos10x+2cos12xcos2x=0 Ы cos12x(cos10x+cos2x)=0Ы й
к
к
к
л
cos12x=0,
cos10x+cos2x=0.

Решим первое уравнение:
cos12x=0Ы 12x=  p

2
+pn,n О ZЫ x=  p

24
+  pn

12
,n О Z

.

Второе уравнение запишем в виде
cos10x=-cos2xЫ cos10x=cos(2x+p)Ы й
к
к
к
л
10x=2x+p+2pn,
10x=-2x-p+2pn,n О Z
Ы й
к
к
к
л
8x=p+2pn,
12x=-p+2pn,n О Z
Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
x=  p

8
+  pn

4
,
x=-  p

12
+  pn

6
,n О Z.

Ответ:


 p

24
+  pn

12
;  p

8
+  pn

4
;-  p

12
+  pn

6
;n О Z

.

Ряд задач этой главы содержит дополнительные задания по отбору корней, а в некоторых уравнениях отбор корней обусловлен областями определения функций в левой или правой частях уравнения. Такой отбор можно проводить с помощью единичной окружности (правда, при этом иногда приходится изображать на ней довольно большое число точек). Исключив те точки, которые не удовлетворяют условию задачи или введенным ограничениям, следует записать ответ в возможно более компактной форме. Для этого следует обратить внимание на точки, являющиеся концами диаметров единичной окружности, точки, симметричные относительно оси абсцисс (они соответствуют числам ±a), и точки, получающиеся последовательными поворотами некоторой из них на один и тот же угол, равный
 2p

p

(p — натуральное число). При таком подходе к отбору корней можно обойтись без решения линейных уравнений в целых числах. Эти уравнения имеют вид ax+by = c (где a, b, c — целочисленные коэффициенты, x и y — целочисленные неизвестные) и называются диофантовыми уравнениями (по имени древнегреческого ученого Диофанта, жившего в III веке). Диофантовы уравнения имеют, как правило, бесконечно много решений, и поэтому иногда их называют неопределенными уравнениями. Изложение общего метода решения линейных диофантовых уравнений займет много места (да оно и выходит за рамки этого пособия). Заметим лишь, что при отборе корней тригонометрических уравнений без использования тригонометрической окружности обычно достаточно использовать свойства делимости целых чисел и, в частности, свойства четности и нечетности. Покажем на примере, как применяются эти свойства. Пусть, например, нужно найти решения уравнения
 sin8x

sinx
= 1

. Это уравнение равносильно системе
м
п
п
н
п
п
о
l sin8x = sinx,
sinx 0.
Таким образом, из решений
x =  2

7
pm

и 
x =  p

9
+  2pn

9

уравнения системы нужно исключить числа x = pk (m О Z, n О Z, k О Z). Найдем сначала, при каких целых m и k выполняется равенство
 2

7
pm = pk

. Это равенство легко приводится к виду 2m = 7k. Левая часть последнего равенства является четным числом. Поэтому правая часть также должна быть четным числом, что возможно, только если k является четным числом, т. е. k=2l, l О Z. При этом 2m = 7 ·2l, откуда m=7l. Следовательно, целые числа вида m=7l нужно исключить из решений
x =  2

7
pm

. Далее найдем, при каких целых n и k выполняется равенство
 p

9
+  2pn

9
= pk

. Это равенство приводится к виду 2n+1=9k. Левая часть последнего равенства является нечетным числом. Поэтому правая часть также должна быть нечетным числом, что возможно, только если k является нечетным числом, т. е. k=2l+1, l О Z. При этом 2n+1=9(2l+1), откуда находим, что n=9l+4. Следовательно, целые числа вида n=9l+4 также нужно исключить из решения. Рассуждая аналогично, в большинстве случаев при отборе корней действительно удается ограничиться применением свойств делимости целых чисел, а не решать диофантовы уравнения в общем виде (напомним, что другой способ отбора основан на использовании тригонометрической окружности). Разумеется, среди упражнений уровней А и В подобных задач нет. Приведем решения некоторых уравнений.


2.4.B04

a) Решите уравнение tan(2x-5)=tan(x+3).

Решение. Данное уравнение равносильно системе
м
п
п
н
п
п
о
2x-5=x+3+pn,n О Z,
2x-5  p

2
+pk,k О Z.

Решим уравнение. 2x-5=x+3+pn,n О Z Ы x=8+pn,n О Z.

Если x=8+pn, то 
2x-5=11+2pn  p

2
+pk

.

Следовательно, неравенство системы выполняется для всех найденных x.

Ответ:

8+pn,n О Z.


2.4.B07

б) Найдите корни уравнения
2cos ж
и
2px-  p

4
ц
ш
-1=0,
удовлетворяющие условию -1 < x < 1.

Решение. Разделим обе части уравнения на 2:
cos ж
и
2px-  p

4
ц
ш
-  1

2
=0Ыcos ж
и
2px-  p

4
ц
ш
=  1

2
Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
2px-  p

4
=  p

3
+2pk, k О Z,
2px-  p

4
=-  p

3
+2pn,n О Z
Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
2x-  1

4
=  1

3
+2k, k О Z,
2x-  1

4
= -  1

3
+2n,n О Z
Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
x=  7

24
+k, k О Z,
x=-  1

24
+n,n О Z.

Отберем корни, удовлетворяющие условию -1 < x < 1.

Пусть 
x=  7

24
+k

. Решим неравенство
-1 <  7

24
+k < 1Ы -  31

24
< k <  17

24

, откуда k=-1 или k=0.

Тогда
й
к
к
к
к
к
к
к
л
x=-  17

24
,
x=  7

24
.

Пусть теперь 
x=-  1

24
+n

. Решим неравенство
-1 < -  1

24
+n < 1

Ы
-  23

24
< n <  25

24

, откуда n=0 или n=1.

Тогда
й
к
к
к
к
к
к
к
л
x=-  1

24
,
x=  23

24
.

Ответ:


-  17

24
;  7

24
;-  1

24
;  23

24

.


2.4.B11

a) Найдите наименьший положительный корень уравнения 
sin(2x-6)=

Ц
 

10
 
-2Ц2

2Ц5-4

.

Решение. Преобразуем правую часть уравнения:

Ц
 

10
 
-2Ц2

2Ц5-4
=  Ц2(Ц5-2)

2(Ц5-2)
=  Ц2

2

. Уравнение принимает вид
sin(2x-6)=  Ц2

2

Ы
й
к
к
к
к
к
к
к
л
2x-6=  p

4
+2pk, k О Z,
2x-6=p-  p

4
+2pn,n О Z
Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
x=  p

8
+3+pk, k О Z,
x=  3p

8
+3+pn,n О Z.

Найдем наименьший положительный корень среди корней вида 
x=  p

8
+3+pk, k О Z

. Наименьший положительный корень получается при k=-1:
 24-7p

8

.

Найдем наименьший положительный корень среди корней вида
x=  3p

8
+3+pn,n О Z

. Наименьший положительный корень равен 
 24-5p

8

.

Из двух полученных чисел нужно выбрать наименьшее: 
x=  24-7p

8

.

Ответ:


 24-7p

8

.

 Назад  |  Оглавление  |  Продолжение 

Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.
Rambler's Top100