ИНТЕРНЕТ БИБЛИОТЕКА

Каталог библиотеки

Павел Сергеевич Александров.

Введение в теорию групп.

(выпуск 7 серии "Библиотечка квант")
М.: Наука, 1980. — 144 с.
100 000 экз

Книга представляет собой, введение в элементарную алгебру и теорию групп, которая находит широкое применение в современной математике и физике, кристаллографии, физике твердого тела и физике элементарных частиц. Все вводимые понятия подробно разъясняются на простых геометрических примерах. В книгу включено дополнение, написанное Ю.П.Соловьевым. Для школьников, преподавателей, студентов.

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ПОНЯТИЕ ГРУППЫ.
§ 1. Простейшие понятия теории множеств.
      1. Сумма множеств.
      2. Пересечение множеств.
      3. Отображения или функции.
      4. Разбиение множества на подмножества.
§ 2. Вводные примеры.
      1. Действия над целыми числами.
      2. Действия над рациональными числами.
      3. Повороты правильного треугольника.
      4. Клейновская группа четвертого порядка.
      5. Повороты квадрата.
§ 3. Определение группы.
§ 4. Простейшие теоремы о группах.
      1. Произведение любого конечного числа элементов группы. Первое правило раскрытия скобок.
      2. Нейтральный элемент.
      3. Обратный элемент.
      4. Замечания об аксиомах группы.
      5. "Мультипликативная" и "аддитивная" терминология в теории групп.

Глава II. ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК.
§ 1. Определение групп подстановок.
§ 2. Понятие подгруппы.
      1. Примеры и определение.
      2. Условие, чтобы подмножество группы было подгруппой.
§ 3. Подстановки как отображения конечного множества на себя. Четные и нечетные подстановки.
      1. Подстановки как отображения.
      2. Четные и нечетные подстановки.

Глава III. ИЗОМОРФНЫЕ ГРУППЫ. ТЕОРЕМА КЭЛИ.
§ 1. Изоморфные группы.
§ 2. Теорема Кэли.

Глава IV. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ.
§ 1. Подгруппа, порожденная данным элементом данной группы. Определение циклической группы.
§ 2. Конечные и бесконечные циклические группы.
§ 3. Системы образующих.

Глава V. ПРОСТЕЙШИЕ ГРУППЫ САМОСОВМЕЩЕНИЙ.
§ 1. Примеры и определение группы самосовмещений геометрических фигур.
      1. Самосовмещения правильных многоугольников в их плоскости.
      2. Самосовмещения правильного многоугольника в трехмерном пространстве.
      3. Общее определение группы самосовмещений данной фигуры в пространстве или на плоскости.
§ 2. Группы самосовмещений прямой и окружности.
§ 3. Группы поворотов правильной пирамиды и двойной пирамиды.
      1. Пирамида.
      2. Двойная пирамида (диэдр).
      3. Случай вырождения: группы поворотов отрезка и ромба.
§ 4. Группа поворотов правильного тетраэдра.
§ 5. Группа поворотов куба и октаэдра.
§ 6. Группа поворотов икосаэдра и додекаэдра. Общее замечание о группах поворотов правильных многогранников.

Глава VI. ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДГРУППЫ.
§ 1. Сопряженные элементы и подгруппы.
      1. Трансформация одного элемента группы при помощи другого.
      2. Пример группы тетраэдра.
      3. Сопряженные элементы.
      4. Трансформация подгруппы.
      5. Примеры.
§ 2. Инвариантные подгруппы (нормальные делители).
      1. Определение.
      2. Примеры.

Глава VII. ГОМОМОРФНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ.
§ 1. Определение гомоморфного отображения и его ядра.
§ 2. Примеры гомоморфных отображений.

Глава VIII. РАЗБИЕНИЕ ГРУППЫ НА КЛАССЫ ПО ДАННОЙ ПОДГРУППЕ. ФАКТОРГРУППА.
§ 1. Левосторонние и правосторонние классы.
      1. Левосторонние классы.
      2. Случай конечной группы G.
      3. Правосторонние классы.
      4. Совпадение правосторонних классов с левосторонними в случае инвариантных подгрупп.
      5. Примеры.
§ 2. Факторгруппа по данной инвариантной подгруппе.
      1. Определение.
      2. Теорема о гомоморфных отображениях.

Добавление. ГРУППЫ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДГРУППЫ. (Ю.П.Соловьев.)
      1. Группа перемещений плоскости.
      2. Группа перемещений пространства.
      3. Конечные подгруппы группы перемещений пространства.