Глава 10. § 11  |	Оглавление |	Глава 10. § 13

§ 12.  Неравенства для остроугольных треугольников

10.74.

Докажите, что для остроугольного треугольника

ma ha  +   mb hb  +   mc hc Ј 1 +   R r .

10.75.

Докажите, что для остроугольного треугольника

1 la  +   1 lb  +   1 lc Ј Ц2 ж и  1 a  +   1 b  +   1 c ц ш .

10.76.

Докажите, что если треугольник не тупоугольный, то m_a + m_b + m_c і 4R.

10.77^*.

Докажите, что если в остроугольном треугольнике h_a = l_b = m_c, то этот треугольник равносторонний.

10.78^*.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. Докажите, что периметр треугольника A₁B₁C₁ не превосходит половины периметра треугольника ABC.

10.79^*.

Пусть РA < РB < РC < 90°. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ABC лежит внутри треугольника BOH, где O - центр описанной окружности, H - точка пересечения высот.

10.80^*.

Пусть h- наибольшая высота нетупоугольного треугольника. Докажите, что r + R Ј h.

10.81^*.

На сторонах BC,CA и AB остроугольного треугольника ABC взяты точки A₁,B₁ и C₁. Докажите, что

2(B1C1cos a + C1A1cos b + A1B1cos g) і acos a + bcos b + ccos g.

10.82^*.

Докажите, что треугольник со сторонами a,b и c остроугольный тогда и только тогда, когда a² + b² + c² > 8R².

10.83^*.

Докажите, что треугольник остроугольный тогда и только тогда, когда p > 2R + r.

10.84^*.

Докажите, что треугольник ABC остроугольный тогда и только тогда, когда на его сторонах BC,CA и AB можно выбрать такие внутренние точки A₁,B₁ и C₁, что AA₁ = BB₁ = CC₁.

10.85^*.

Докажите, что треугольник ABC остроугольный тогда и только тогда, когда длины его проекций на три различных направления равны.

Глава 10. § 11  |	Оглавление |	Глава 10. § 13

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.