| Прасолов В. В. Задачи по планиметрии.
(4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!) | МЦНМО, 2002 |
|---|
§ 1. Перенос помогает решить задачу
-
15.1.
-
В каком месте следует построить мост MN через
реку, разделяющую деревни A и B, чтобы путь AMNB из A
в B был кратчайшим? (Берега реки считаются параллельными прямыми,
мост перпендикулярен берегам.)
-
15.2.
-
Дан треугольник ABC. Точка M, расположенная
внутри треугольника, движется параллельно стороне BC до
пересечения со
стороной CA, затем параллельно AB до
пересечения с BC, затем параллельно AC до пересечения
с AB и т. д. Докажите, что через некоторое число шагов
траектория движения точки замкнется.
-
15.3.
-
Пусть K, L, M и N - середины сторон AB, BC, CD
и DA выпуклого четырехугольника ABCD.
а) Докажите, что KM Ј (BC + AD)/2, причем равенство
достигается, только если BC||AD.
б) При фиксированных длинах сторон четырехугольника ABCD
найдите максимальные значения длин отрезков KM и LN
-
15.4.
-
В трапеции ABCD стороны BC и AD параллельны,
M - точка пересечения биссектрис углов A и B, N -
точка пересечения биссектрис углов C и D. Докажите, что
2MN = |AB + CD – BC – AD|.
-
15.5*.
-
Из вершины B параллелограмма ABCD проведены
его высоты BK и BH. Известно, что KH = a и BD = b.
Найдите расстояние от точки B до точки пересечения высот
треугольника BKH.
-
15.6*.
-
Внутри каждой стороны параллелограмма выбрано по точке.
Выбранные точки сторон, имеющих общую вершину, соединены.
Докажите, что центры описанных окружностей четырех получившихся
треугольников являются вершинами некоторого параллелограмма.
-
15.7*.
-
В квадрате со стороной 1 расположена фигура,
расстояние между любыми двумя точками которой не равно 0,001.
Докажите, что площадь этой фигуры не превосходит:
а) 0,34; б) 0,287.
Глава 15 | 
