Глава 15. Решения  |	Оглавление |	Глава 16. § 1

Глава 16.
Центральная симметрия

Основные сведения

1. Симметрией относительно точки A называют преобразование плоскости, переводящее точку X в такую точку Xў, что A - середина отрезка XXў. Другие названия этого преобразования - центральная симметрия с центром A или просто симметрия с центром A.

Заметим, что симметрия с центром A представляет собой частный случай двух других преобразований - она является поворотом на 180° с центром A, а также гомотетией с центром A и коэффициентом  – 1.

2. Если фигура переходит в себя при симметрии относительно точки A, то A называют центром симметрии этой фигуры.

3. В главе используются следующие обозначения для преобразований:

S_A - симметрия с центром A,

T_a - перенос на вектор a.

4. Композицию симметрий относительно точек A и B мы будем обозначать S_B°S_A; при этом сначала выполняется симметрия S_A, затем симметрия S_B. Кажущаяся неестественность такой последовательности операций оправдывается тождеством (S_B°S_A)(X)  =  S_B(S_A(X)).

Композиция отображений обладают свойством ассоциативности: F°(G°H) = (F°G)°H. Поэтому порядок, в каком берется композиция, несуществен, и можно просто писать F°G°H.

5. Композиции двух центральных симметрий или симметрии и переноса вычисляются по следующим формулам (см. задачу 16.9):

а) S_B°S_A = T_{2[( ®) || ( AB)]};

б) T_a°S_A = S_B и S_B°T_a = S_A, где

a = 2

® AB

.

Вводные задачи

1.

Докажите, что при центральной симметрии окружность переходит в окружность.

2.

Докажите, что четырехугольник, имеющий центр симметрии, является параллелограммом.

3.

Противоположные стороны выпуклого шестиугольника попарно равны и параллельны. Докажите, что он имеет центр симметрии.

4.

Дан параллелограмм ABCD и точка M. Через точки A, B, C и D проведены прямые, параллельные прямым MC, MD, MA и MB соответственно. Докажите, что они пересекаются в одной точке.

5.

Докажите, что противоположные стороны шестиугольника, образованного сторонами треугольника и касательными к его вписанной окружности, параллельными сторонам, равны.

Глава 15. Решения  |	Оглавление |	Глава 16. § 1

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.