Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002
 Глава 18. § 1  |  Оглавление |  Глава 18. § 3

§ 2.  Поворот на 60°

18.9.
На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники A1BC, AB1C и ABC1. Докажите, что AA1 = BB1 = CC1.

18.10.
На отрезке AE по одну сторону от него построены равносторонние треугольники ABC и CDE; M и P - середины отрезков AD и BE. Докажите, что треугольник CPM равносторонний.
18.11.
Постройте равносторонний треугольник ABC так, чтобы его вершины лежали на трех данных параллельных прямых.
18.12.
Рассмотрим всевозможные равносторонние треугольники PKM, вершина P которых фиксирована, а вершина K лежит в данном квадрате. Найдите геометрическое место вершин M.
18.13.
На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD построены внешним образом правильные треугольники BCP и CDQ. Докажите, что треугольник APQ правильный.
18.14.
Точка M лежит на дуге AB описанной окружности правильного треугольника ABC. Докажите, что MC = MA + MB.
18.15.
Найдите геометрическое место точек M, лежащих внутри правильного треугольника ABC, для которых MA2 = MB2 + MC2.
18.16.
Шестиугольник ABCDEF правильный, K и M - середины отрезков BD и EF. Докажите, что треугольник AMK правильный.
18.17.
Пусть M и N - середины сторон CD и DE правильного шестиугольника ABCDEF, P - точка пересечения отрезков AM и BN.
а) Найдите величину угла между прямыми AM и BN.

б) Докажите, что SABP = SMDNP.

18.18.
На сторонах AB и BC правильного треугольника ABC взяты точки M и N так, что MN||AC, E - середина отрезка AN, D - центр треугольника BMN. Найдите величины углов треугольника CDE.
18.19.
На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники ABC1, AB1C и A1BC. Пусть P и Q - середины отрезков A1B1 и A1C1. Докажите, что треугольник APQ правильный.
18.20.
На сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники ABCў и ABўC. Точка M делит, сторону BC в отношении BM : MC = 3 : 1; K и L - середины сторон ACў и BўC. Докажите, что углы треугольника KLM равны 30°, 60° и 90°.
18.21.
Правильные треугольники ABC, CDE, EHK (вершины обходятся в  направлении против часовой стрелки) расположены на плоскости так, что
®
AD
 
  =  ®
DK
 

. Докажите, что треугольник BHD тоже правильный.
18.22*.
а) Внутри остроугольного треугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.
б) Внутри треугольника ABC, все углы которого меньше 120°, взята точка O, из которой его стороны видны под углом 120°. Докажите, что сумма расстояний от точки O до вершин равна (a2 + b2 + c2)/2 + 2Ц3 S.

18.23*.
Даны точка X и правильный треугольник ABC. Докажите, что из отрезков XA, XB и XC можно составить треугольник, причем этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка X лежит на описанной окружности треугольника ABC (Помпею).
18.24*.
Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность радиуса R, причем AB = CD = EF = R. Докажите, что середины сторон BC, DE и FA образуют правильный треугольник.
18.25*.
На сторонах выпуклого центрально симметричного шестиугольника ABCDEF внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что середины отрезков, соединяющих вершины соседних треугольников, образуют правильный шестиугольник.
  Глава 18. § 1  |  Оглавление |  Глава 18. § 3
Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100