Глава 24. § 1  |	Оглавление |	Глава 24. Решения

§ 2.  Разные задачи

24.7^*.

На бесконечном листе клетчатой бумаги N клеток окрашено в черный цвет. Докажите, что из этого листа можно вырезать конечное число квадратов так, что будут выполняться два условия: 1) все черные клетки лежат в вырезанных квадратах; 2) в любом вырезанном квадрате K площадь черных клеток составит не менее 0,2 и не более 0,8 площади K.

24.8^*.

Начало координат является центром симметрии выпуклой фигуры площадью более 4. Докажите, что эта фигура содержит хотя бы одну точку с целыми координатами, отличную от начала координат (Минковский).

24.9^*.

Во всех узлах целочисленной решетки, кроме одного, в котором находится охотник, растут деревья, стволы которых имеют радиус r. Докажите, что охотник не сможет увидеть зайца, находящегося от него на расстоянии больше 1/r.

24.10^*.

Внутри выпуклой фигуры с площадью S и полупериметром p лежит n узлов решетки. Докажите, что n > S – p.

24.11^*.

Докажите, что для любого n существует окружность, внутри которой лежит ровно n целочисленных точек.

24.12^*.

Докажите, что для любого n существует окружность, на которой лежит ровно n целочисленных точек.

Глава 24. § 1  |	Оглавление |	Глава 24. Решения

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.