Глава 2. Решения  |	Оглавление |	Глава 3. § 1

Глава 3.
Окружности

Основные сведения

1. Прямую, имеющую ровно одну общую точку с окружностью, называют касательной к окружности.

Через любую точку A, лежащую вне окружности, можно провести ровно две касательные к окружности; пусть B и C- точки касания,  O- центр окружности. Тогда:

а) AB = AC;

б) РBAO = РCAO;

в) OB^AB.

(Иногда касательной мы будем называть не прямую AB, а отрезок AB. Например, свойство а) можно сформулировать так: «касательные, проведенные из одной точки, равны».)

2. Пусть прямые l₁ и l₂, проходящие через точку A, пересекают окружность в точках B₁,C₁ и B₂,C₂ соответственно. Тогда  AB₁ · AC₁ = AB₂ · AC₂. В самом деле,  D AB₁C₂ ~ DAB₂C₁ по трем углам (советуем читателям самостоятельно доказать это, используя свойства вписанных углов и рассматривая два случая:  A лежит вне окружности и A лежит внутри окружности).

Если прямая l₂ касается окружности, т. е. B₂ = C₂, то AB₁ · AC₁ = AB₂². Доказательство производится так же, как и в предыдущем случае, только теперь нужно воспользоваться свойствами угла между касательной и хордой.

3. Прямая, соединяющая центры касающихся окружностей, проходит через их точку касания.

4. Величиной угла между двумя пересекающимися окружностями называют величину угла между касательными к ним, проведенными через точку пересечения. При этом безразлично, какую из двух точек пересечения окружностей мы выберем.

Угол между касающимися окружностями равен 0°.

5. При решении задач § 6 используется одно свойство, не имеющее прямого отношения к окружностям: высоты треугольника пересекаются в одной точке. Доказательство этого факта можно найти в решениях задач 5.47 и 7.41, а можно пока принять на веру.

6. Уже в середине V в. до н. э. Гиппократ с острова Хиос (не путайте его со знаменитым врачом Гиппократом с острова Кос, жившим несколько позже) и пифагорейцы начали решать задачу квадратуры круга. Она формулируется следующим образом: построить с помощью циркуля и линейки квадрат, имеющий ту же площадь, что и данный круг. В 1882 г. немецкий математик Линдеманн доказал, что число p трансцендентно, т. е. не является корнем многочлена с целыми коэффициентами. Из этого, в частности, следует, что задача квадратуры круга неразрешима.

По-видимому, многим давала надежду на возможность квадратуры круга задача 3.38 (задача о «луночках Гиппократа»): площадь фигуры, образованной дугами окружностей, равна площади треугольника. Решив эту задачу, постарайтесь понять, почему в данном случае подобные надежды не имели оснований.

Вводные задачи

1.

Докажите, что из точки A, лежащей вне окружности. можно провести ровно две касательные к окружности, причем длины этих касательных (т. е. расстояния от A до точек касания) равны.

2.

Две окружности пересекаются в точках A и B. Точка X лежит на прямой AB, но не на отрезке AB. Докажите, что длины всех касательных, проведенных из точки X к окружностям, равны.

3.

Две окружности радиусов R и r касаются внешним образом (т. е. ни одна из них не лежит внутри другой). Найдите длину общей касательной к этим окружностям.

4.

Пусть a и b- длины катетов прямоугольного треугольника,  c- длина его гипотенузы. Докажите, что:

б) радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжений катетов, равен (a + b + c)/2.

Глава 2. Решения  |	Оглавление |	Глава 3. § 1

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.