Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002

 Глава 3 |  Оглавление |  Глава 3. § 2

§ 1.  Касательные к окружностям

3.1.
Прямые PA и PB касаются окружности с центром O (A и B- точки касания). Проведена третья касательная к окружности, пересекающая отрезки PA и PB в точках X и Y. Докажите, что величина угла XOY не зависит от выбора третьей касательной.
3.2.
Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC в точке K, а вневписанная- в точке L. Докажите, что CK = BL = (a + b – c)/2, где a,b,c- длины сторон треугольника.
3.3.
На основании AB равнобедренного треугольника ABC взята точка E, и в треугольники ACE и ECB вписаны окружности, касающиеся отрезка CE в точках M и N. Найдите длину отрезка MN, если известны длины отрезков AE и BE.
3.4.
Четырехугольник ABCD обладает тем свойством, что существует окружность, вписанная в угол BAD и касающаяся продолжений сторон BC и CD. Докажите, что AB + BC = AD + DC.
3.5.
Общая внутренняя касательная к окружностям с радиусами R и r пересекает их общие внешние касательные в точках A и B и касается одной из окружностей в точке C. Докажите, что AC · CB = Rr.

Рис. 3.1

3.6*. К двум окружностям различного радиуса проведены общие внешние касательные AB и CD. Докажите, что четырехугольник ABCD описанный тогда и только тогда, когда окружности касаются.

3.7*. Дан параллелограмм ABCD. Вне-
вписанная окружность треугольника ABD касается продолжений сторон AD и AB в точках M и N. Докажите, что точки пересечения отрезка MN с BC и CD лежат на вписанной окружности треугольника BCD.

3.8*. На каждой стороне четырехугольника ABCD взято по две точки, и они соединены так, как показано на рис. 3.1. Докажите, что если все пять заштрихованных четырехугольников описанные, то четырехугольник ABCD тоже описанный.


  Глава 3 |  Оглавление |  Глава 3. § 2

Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.
Rambler's Top100