Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002

 Глава 6. § 2  |  Оглавление |  Глава 6. § 4

§ 3.  Теорема Птолемея

6.37*.
Четырехугольник ABCD вписанный. Докажите, что AB · CD  +  AD · BC = AC · BD (Птолемей).

6.38*.
Четырехугольник ABCD вписанный. Докажите, что
 AC

BD
 =   AB · AD + CB · CD

BA · BC + DA · DC
.
6.39*.
Пусть a  = p/7. Докажите, что  
 1

sin a
 =   1

sin 2a
 +   1

sin 3a

.
6.40*.
Расстояния от центра описанной окружности остроугольного треугольника до его сторон равны da,db и dc. Докажите, что da + db + dc = R + r.
6.41*.
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке D. Докажите, что AB + AC Ј 2AD.
6.42*.
На дуге CD описанной окружности квадрата ABCD взята точка P. Докажите, что PA + PC = Ц2 PB.
6.43*.
Дан параллелограмм ABCD. Окружность, проходящая через точку A, пересекает отрезки AB,AC и AD в точках P,Q и R соответственно. Докажите, что AP · AB = AR · AD = AQ · AC.
6.44*.
На дуге A1A2n + 1 описанной окружности S правильного  (2n + 1)-угольника  A1A2n + 1 взята точка A. Докажите, что:
а) d1 + d3 + … + d2n + 1 = d2 + d4 + … + d2n, где di = AAi;

б) l1 + … + l2n + 1 = l2 + … + l2n, где li- длина касательной, проведенной из точки A к окружности радиуса r, касающейся S в точке Ai (все касания одновременно внутренние или внешние).

6.45*.
Окружности радиуса x и y касаются окружности радиуса R, причем расстояние между точками касания равно a. Вычислите длину следующей общей касательной к первым двум окружностям:
а) внешней, если оба касания внешние или внутренние одновременно;

б) внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее.

6.46*.
Окружности a,b,g и d касаются данной окружности в вершинах A,B,C и D выпуклого четырехугольника ABCD. Пусть tab- длина общей касательной к окружностям a и b (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее);  tbg,tgd и т. д. определяются аналогично. Докажите, что tabtgd + tbgtda  =  tagtbd (обобщенная теорема Птолемея).
См. также задачу 9.67.


  Глава 6. § 2  |  Оглавление |  Глава 6. § 4

Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.
Rambler's Top100